Тема 4. Основные позиционные и метрические задачи

Взаимное расположение плоскостей.

В общем случае две плоскости в пространстве могут быть пара­ллельными, пересекающимися и, в частном случае, взаимноперпендикулярными.

4.1. Плоскости параллельные

Признаками параллельности двух плоскостей в общем случае слу­жит параллельность пары пересекающихся прямых одной плоскости паре пересекающихся прямых другой плоскости.

Кроме того из стереометрии известно, что две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым. На основа­нии этого, при изображении плоскостей следами, признаком парал­лельности плоскостей на чертеже служит параллельность их одноименных следов и одноименных проекций соответствующих линий особого положения этих плоскостей.

Чтобы судить по чертежу двух плоскостей общего положения, за­данных следами, об их параллельности пары фронтальных, горизонтальных и профильных следов должны быть взаимнопараллельны.

На рис.52 представлен чертеж параллельных плоскостей P и Q. Эти плоскости пересекаются плоскостью проекций Н по параллельным линиям Ph и Qh, а плоскостью V - по параллельным ли­ниям (следам) Pv и Qv.

С ледует обратить внимание, если параллельны только две пары одноименных следов плоскостей на плоскостях проекций V и H, то для профильно-проецирующих плоскостей это не является достаточ­ным, чтобы утверждать о параллельности заданных плоскостей. Приз­наком параллельности в этом случае служит параллельность трех одноименных следов попарно.

Рис. 52

Рис. 53

Задача

Через точку D провести плоскость, параллельную плоскости, заданной пересекающимися прямыми АВ и АС (рис.53).

Искомая плоскость построена с помощью прямых DE и DK, соответственно параллельных АВ и АС и проходящих через заданную точку D. Одноименные проекции этих прямых параллельны.

В случае, когда некоторая плоскость P задана следами, то для построения параллельной ей плоскости, проходящей через задан­ную точку, например, B достаточно провести одну из линий особо­го положения искомой плоскости Q, например, фронталь (рис.54)

Известно, что горизонтальная проекция фронтали параллельна оси X и проходит через горизонтальную проекцию точки B(b), а вертикальная - параллельно следу Pv и проводит через фронтальную проекций b' точки В.

Горизонтальный след Qh искомой плоскости пройдет через го­ризонтальный след m фронтали, параллельно горизонтальному сле­ду Ph. Затем через точку схода Qx параллельно Pv проводится след Qv искомой плоскости Q.

4.2. Плоскости пересекаются

В результате пересечения двух плоскостей образуется линия пересечения, которая принадлежит обеим плоскостям.

Построение проекций линии пересечения двух плоскостей - это первая основная задача начертательной геометрии.

Вообще известно, что для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно определить две любые точки, общие обеим плоскостям; либо одну общую точку и направление линии пересечения.

Линия пересечения плоскостей должна удовлетворять следующему условию:

следы линии пересечения должны лежать на одноименных следах пересекающихся плоскостей, т.е. в точках пересечения одноименных следов этих плоскостей.

Рассмотрим пространственное расположение и чертежа, прямой линии по которой пересекаются две плоскости общего положения, нап­ример, Р и Q, следы которых пересекаются в пределах черте­жа (рис.55 и 56).

Рис. 54

Рис. 55

Рис. 56

В точках пересечения следов лежат одноименные следы М и N линии пересечения. Соединив одноименные проекции этих точек (m и n; m' и n') получим проекции линии пересечения заданных плоскостей P и Q.

Если для построения проекций линии пересечения плоскостей общего положения необходимо определить две точки, то когда одна из пересекающихся плоскостей занимает особое положение, необходимо определить только одну общую точку, т.к. направление линии пересечения определит плоскость особого положения.

Пусть плоскость R (рис.57) параллельна плоскости Н.

Эта плоскость, очевидно, пересекает любую плоскость по гори­зонтали (h и h'). Этот вывод для данного примера обусловли­вается тем, что две параллельные плоскости R и Н пересекаются c плоскостью P по параллельным линиям. Следовательно, прямая, по которой плоскость P пересекается с плоскостью R, будет парал­лельна линии пересечения плоскости P и плоскости H, а такой линией на чертеже является след Ph. Но прямая в плоскости и параллельная Рh - есть горизонталь, а точка N (n,n') являет­ся её вертикальным следом, лежащим в точке пересечения вертикаль­ных следов пересекающихся плоскостей. Эта единственная точка N (n,n') позволяет построить обе проекции (h и h') линии пере­сечения плоскостей Р и R т.к. известно её направление - гори­зонталь. Фронтальная проекция линии пересечения (h' - горизонта­ли) совпадают с фронтальным следом Rv плоскости в силу его собирательного свойства, а горизонтальная проекция h - пара­ллельна Ph.

Аналогичное рассуждение применимо и к плоскости фронтальной уровня, т.е. плоскости параллельной фронтальной плоскости проекций V.

Рис. 57

4.3. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к плоскости в пространстве может:

а) лежать в плоскости;

б) пересекать плоскость;

в) быть параллельной плоскости.

Прямая, параллельная плоскости

Из стереометрии известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости. В общем случае геометрическим местом прямых, параллельных плоскос­ти, будет плоскость, параллельная заданной.

Отсюда, признаком параллельности заданной прямой плоскости общего положения является параллельность одноименных проекций за­данной прямой и прямой, лежащей в плоскости.

Следовательно построение прямой через заданную точку парал­лельно заданной плоскости можно выполнить двумя графическими примерами:

1. В заданной плоскости взять прямую, а затем через проекции данной точки провести проекции искомой прямой так, чтобы они были бы параллельны одноименным проекциям прямой в данной плоскости.

Решим обратную задачу: например, требуется проверить парал­лельность отрезка АВ некоторой плоскости Р, заданной следами (рис.58).

Рис. 58

На фронтальном, например, следе Pv выбираем произвольно точку N (n', n) и проводим фронтальную проекцию n'm' параллельно a'b'. На оси X находим точку m', а на горизонтальном следе плоскости Ph точку m, mn - горизонтальная проекция прямой MN, принадлежащей плоскости Р. Проекция, mn очевидно не параллельна ab, следовательно, отрезок АВ (a'b',ab) не параллелен плоскости Р. 2. В заданной плоскости взять прямую, а затем через проекции и точки провести проекции искомой прямой так, чтобы они были бы параллельны одноимённым проекциям прямой в данной плоскости. Пусть плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и АС, а точка Д - её проекциями d и d' (рис.59).

Чтобы прямая L проходила через точку Д и была параллельна данной плоскости, необходимо, чтобы ее проекции l и l' были бы параллельны одноименным проекциям какой-либо прямой данной плос­кости.

В рассмотренном примере проекции прямой L (l,l') параллельны одноименным проекциям прямой АС заданной плоскости; сле­довательно, прямая L параллельна заданной плоскости и проходит через точку Д.

Рис. 59

4.4. Прямая, пересекающая плоскость

Прямая, не параллельная плоскости, пересекает её. Построение проекций точки пересечения прямой с плоскостью является второй основной задачей начертательной геометрии, так как она обеспечи­вает решение задач на построение проекций точек пересечения пря­мой с поверхностями многогранников, тел вращения и др.

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью необхо­димо запомнить следующий алгоритм построения:

1. Через прямую провести вспомогательную плоскость проецирующего (в большинстве случаев) или общего положения.

2. Построить проекции линии пересечения заданной плоскости и вспомогательной.

3. Найти проекции искомой точки, которые лежат в пересечении одноименных проекций заданной прямой и линии пересечения плоскостей.

Если вспомогательная плоскость проецирующая, то одна из проек­ций искомой точки совпадает с одноименным следом этой плоскости. Видимость прямой относительно данной плоскости на плоскостях проекций V и H определяется методом конкурирующих точек.

Пусть прямая АВ пересекает плоскость общего положения P за­данную ее следами (рис.60).

Рис. 60

Решение.

1. Через отрезок АВ проведена горизонтально-проецирующая плоскость R (Rh=ab).

2. Построены проекции линии пересечения MN (mn; m'n') плоскостей P и R.

3. Определена вертикальная проекция K' искомой точки на пе­ресечении фронтальных проекций a'b' линии AB и m'n' - линии пересечения MN плоскостей R и P.

4. Горизонтальная проекция к искомой точки определена линией проекционной связи на горизонтальной проекции ab отрезка АВ.

Точка К является границей видимости отрезка АВ, т.к. она ле­жит в плоскости Р, а плоскость считается не прозрачной, поэтому все что находится под плоскостью - не видимо.

Для определения видимости можно применить и в этом простейшем случае метод конкурирующих точек. В качестве таковых следует взять на плоскости V точки скрещивающихся прямых: например, следа Pv и прямой АВ, и рассматривать их положение на горизонтальной плос­кости.

Для определения видимости на горизонтальной плоскости можно взять скрещивающиеся прямые Ph и АВ.

Если плоскость задана не следами, то задача построения точки пересечения прямой с плоскостью решается теми же приемами, что и с плоскостью, заданной следами (алгоритм решения задачи сохраняет­ся всегда).

4.5. Перпендикулярность прямой и плоскости

При решении задач методом начертательной геометрии нередко приходится проводить на чертежах проекции прямых, перпендикуляр­ных к различным плоскостям.

В этом случае все построения на чертежах выполняются на осно­вании теоремы о проекциях перпендикуляра к плоскости.

Теорема. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проек­ции перпендикулярны к одноименным следам плоскости, а также к со­ответствующим проекциям горизонталей, фронталей и профильных прямых данной плоскости.

Для доказательства теоремы рассмотрим пространственное изоб­ражение отрезка прямой LK перпендикулярного к некоторой плоскос­ти Р и пересекающего данную плоскость в точке К (рис.61)

Проведем в плоскости Р через точку К горизонталь NK, тогда NК перпендикулярна КL по условию. На основании теоремы о проецировании прямого угла lk перпендикулярно kn, а горизонтальная проекция горизонтали kn || Ph тогда lk перпендикулярна Ph, т.е. горизонтальная проекция перпендику­ляра к плоскости перпендикулярна к горизонтальному следу плоскос­ти и горизонтальной проекции горизонтали.

Аналогичным построением с помощью фронтали доказывается, что l'k' перпендикулярна к вертикальной проекции фронтали и вертикальному сле­ду Pv плоскости. Таким образом, если в системе V, H горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальному следу и фронтальная проек­ция прямой перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то для плоскостей общего положения, а также горизонтально- и фронтально-проецирующих прямая перпендикулярна плоскости.

Е сли перпендикуляр проведен к некоторой плоскости, то на этой плоскости должна быть точка их пересечения.

Рис. 61

Пусть из точки А (a,a') проведен перпендикуляр АС к плоскости Р, заданной в системе V, Н следами (рис.62).

По доказанной теореме порядок построения проекций перпендику­ляра известен:

строим a'c' перпендикулярно Pv и ac перпендикулярно Ph

Д ля определения точки Е, в которой перпендикуляр АС пересе­кает плоскость Р построим горизонтально-проецирующую плоскость Q, проведенную через перпендикуляр АС. Найдем проекции линии пересече­ния плоскостей Р и Q (mn; m'n'). Точка пересечения e' фронтальных проекций перпендикуляра a'c' и линии пересечения плоскостей m'n' и есть фронтальная проекция искомой точки. Го­ризонтальная проекция e определяется по линии проекционной связи.

Рис. 62

4.6. Определение расстояния от точки до плоскости

При определении расстояния от заданной точки до плоскости мы снова встречаемся с известной задачей определения натуральной (истинной) величины отрезка прямой.

Пусть заданы некторая точка Д (d',d) и плоскость, заданная треугольником ABC (abc; a'b'c') (рис.63). Необходимо определить расстояние от точки Д до плоскости треугольника ABC.

Н а этом примере рассмотрим порядок построения проекций пер­пендикуляра с использованием не следов плоскости, а ее горизонта­лей и фронталей.

Рис. 63

Известно, что расстояние от точки до плоскости измеряется по перпендикуляру. Для построения горизонтальной проекции перпен­дикуляра проводим в плоскости треугольника горизонталь и через точку d. (горизонтальную проекцию точки) проводим l параллельно h.

Для построения вертикальной проекции l' перпендикуляра в плоскости треугольника ABC проведена фронталь и через точку d' проведен l' перпендикулярно f'.

Для определения расстояния от точки Д до плоскости, заданной треугольником ABC, надо найти точку пересечения перпендикуляра L с плоскостью треугольника. С этой целью через перпендикуляр L проведена фронтально-проецирующая плоскость Q и построена линия пересечения 1-2 этой плоскости с плоскостью треугольника ABC.

Пересечение горизонтальной проекции перпендикуляра l с гори­зонтальной проекцией линии пересечения плоскостей 1-2 определяет горизонтальную проекцияю К точки пересечения перпендикуляра L с плоскостью треугольника ABC.

Вертикальная проекций этой точки К находится по проекционной линии связи на l'.

Расстояние от точки Д до плоскости треугольника ABC (нату­ральная величина отрезка) определена способом прямоугольного треугольника (k'D).