Методические указания

Сравнение уровней ряда динамики производится двумя способами: цепным и базисным. При цепном способе каждый уровень сравнивают с предыдущим . При базисном способе выбирают базисный уровень и все остальные уровни сравнивают с ним. Для определения величины абсолютной скорости роста (снижения) значений уровней ряда динамики используют статистический показатель - абсолютный прирост ∆. Он показывает, на сколько единиц увеличилось значение уровня по сравнению с предыдущим или базисным . В зависимости от способа сравнения абсолютный прирост рассчитывается следующим образом: = - , = - .

Для определения относительной скорости роста применяют коэффициент роста Кр, который определяется как отношение значений данного уровня к предыдущему или базисному .

= , =

Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень больше цепного или базисного или какую часть от них составляет рассматриваемый уровень.

Коэффициент роста, выраженный в процентах, определяет темп роста:

(3.1)

Тогда цепные и базисные формулы расчета темпов роста выглядят следующим образом:

, . (3.2)

Изменение величины абсолютного прироста уровней ряда динамики определяется темпом прироста Тпр, который рассчитывается так:

цеп = цеп , ,баз = баз , (3.3)

С помощью темпов прироста можно узнать, на сколько процентов увеличился (снизился) данный уровень по сравнению с цепным или базисным.

Расчет темпов прироста можно вести по упрощенной формуле:

Тпр = (Кр – 1)х100 или Тпр = Тр – 100. (3.4)

Показатель абсолютного значения 1% прироста определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:

= (3.5)

Его расчет имеет экономический смысл только на цепной основе. Абсолютное значение 1% прироста можно рассчитать иначе:

= 0,01 (3.6)

На основе рассчитанных показателей строится график динамических показателей.

Среднее значение уровней ряда динамики зависит от его вида. Всего существует четыре вида средних.

Среднее значение интервального ряда динамики с равностоящими уровнями вычисляется по формуле средней арифметической простой:

= (3.7)

где п – число уровней.

Среднее значение интервального ряда динамики с неравностояшими уровнями рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

= , (3.8)

где - временная разность между данным - м уровнем и следующим за ним.

Средний уровень моментного ряда динамики называется средней хронологической. Для ряда с равностоящими уровнями средняя хронологическая равна:

= . (3.9)

Средняя хронологическая для ряда с неравностоящими уровнями рассчитывается по формуле:

= (3.10)

где - длина временного интервала между - м и +1 – м уровнями.

Средний абсолютный прирост исчисляется как среднее значение цепных абсолютных приростов

= цеп или = (3.11)

Среднее значение коэффициента роста равно среднему геометрическому цепных коэффициентов роста

= или = (3.12)

Средний темп роста есть средний коэффициент роста, выраженный в процентах:

= х 100. (3.13)

Средний темп прироста

= - 100. (3.14)

Графический метод анализа временного ряда дает весьма приближенные результаты, поэтому необходимо использовать более строгие аналитические процедуры. Так, прежде чем перейти к выделению тренда, следует проверить гипотезу о том, существует ли он вообще.

Решение данной задачи может быть основано на методе статистической проверки гипотез. Здесь используется проверка разности средних уровней. Для этого динамический ряд разбивается на две примерно равные по числу членов части. По каждой части находятся:

1. Средние значения

и . (3.15)

2. Исправленные дисперсии

и . (3.16)

где - уровень динамического ряда;

- индекс уровня динамического ряда ( = 1, п)

п – число членов динамического ряда;

п1 – число членов первой части ряда;

п2 – число членов второй части ряда (п = п1 + п2).

Сначала проверяется гипотеза о равенстве дисперсий этих совокупностей на основе F – критерия Фишера – Спедекора. Для этого нужно определить расчетное значение этого критерия, сравнить его с табличным критическим при заданном уровне значимости и К1 и К2 степенями свободы – Fкр( ), К1, К2.

расч = (3.18)

К1 = п1 – 1, К2 = п2 – 1.

В данном случае п1 – число членов той части ряда, которому соответствует большая дисперсия ( max); п2 – число членов той части, которой соответствует меньшая дисперсия ( min).

Если Fрасч > Fкрит, то гипотеза о равенстве дисперсий отвергается и проверить гипотезу о наличии тренда в динамическом ряду методом сравнения средних уровней нельзя.

Если Fрасч < Fкрит, расхождение между и несущественно (случайно). В этом случае проверяется основная гипотеза о равенстве двух частей динамического ряда на основе t – критерия Стьюдента.

Находится расчетное значение t – критерия Стьюдента по формуле:

t расч = ( max - min) / S,

где

. (3.19)

Расчетное значение t – критерия сравнивается с табличным критическим его значением при уровне значимости и степенями свободы К = п1 + п2 – 2, т.е. t( , К).

Например, табличные значения t – критерия следующие:

t(0,1; 10) = 1,81; t(0,05; 10) = 2,23; t(0,01; 10) = 3,17.

Если t расч < t крит, то делается вывод о том, что расхождение между и незначимо (случайно), т.е. тенденция (тренд) отсутствует, если t расч > t крит, то расхождение между средними существенно, тенденция (тренд) существует.

Далее целесообразно выявить резкие отклонения от основного направления развития в тот или иной период и установить их истинную причину. В тех случаях, когда развитие явления носит скачкообразный характер и определить основную тенденцию этого процесса с помощью графика оказывается затруднительно, необходимо провести выравнивание ряда либо методом скользящего среднего, либо с помощью аналитического выравнивания.

Итак, любому статистическому моделированию предшествует этап обработки эмпирических данных. Предварительная обработка исходного числового ряда направлена на решение следующих задач: снизить влияние случайной составляющей в исходном числовом ряду, т.е. приблизить его к тренду, представить информацию, содержащуюся в числовом ряду, в таком виде, чтобы существенно снизить трудность математического описания тренда. Основные инструменты для решения данных задач обозначены ранее.

Процедура сглаживания направлена на минимизацию случайных отклонений точек ряда от некоторой гладкой кривой предполагаемого тренда процесса. Наиболее распространен способ осреднения уровня по некоторой совокупности окружающих точек, причем эта операция перемещается вдоль ряда точек, в связи с чем обычно называется скользящая средняя. В самом простом варианте сглаживающая функция линейна и сглаживающая группа состоит из предыдущей и последующей точек, в более сложных – функция нелинейна и использует группу произвольного числа точек.

Сглаживание производится с помощью многочленов. Наилучшее сглаживание получается для средних точек группы, поэтому желательно выбирать нечетное количество точек в сглаживаемой группе. Сами группы точек берут по составу скользящими по всему ряду. Так, по первым точкам , , , , сглаживают среднюю , затем по следующей пятерке , , , , сглаживают и т.д. Для сглаживания по трем точкам формулы имеют следующий вид:

= ; (3.20)

= ); (3.21)

= , (3.22)

где , - значения исходной и сглаженной функций в средней точке;

, - значения исходной и сглаженной функций в левой средней точке;

, - значения исходной и сглаженной функций в правой от средней точке.

Последние две формулы применяются обычно по краям интервала. Аналогичные формулы имеются для сглаживания рядов по пяти точкам:

= (3.23)

= (3.24)

= (3.25)

= (3.26)

= . (3.27)

Сглаживание даже в простом линейном варианте является во многих случаях весьма эффективным средством выявления тренда при наложении на эмпирический числовой ряд случайных помех и ошибок измерения. Для рядов со значительной амплитудой помехи имеется возможность проводить многократное сглаживание исходного числового ряда. Число последовательных циклов сглаживания должно выбираться в зависимости от вида исходного ряда, от степени предполагаемой его зашумленности помехой, от цели, которую преследует сглаживание. Надо иметь при этом в виду, что эффективность этой процедуры быстро уменьшается (в большинстве случаев), так что целесообразно повторять ее от одного до трех раз.

Очень важным является вопрос о выборе периода скольжения средней. Если изучаемый ряд подвержен циклическим колебаниям, то период скольжения должен быть либо равным, либо кратным периоду колеблемости. Если подобные колебания отсутствуют, рекомендуется выполнить несколько вариантов выравнивания с разными периодами скольжения, пока основная тенденция не будет выявлена наиболее отчетливо. Когда выравнивается ряд небольшого числа уровней, то из-за «укорачивания» ряда выровненных значений использование многочисленных скользящих средних существенно ограничивается. Средние, рассчитанные по большому периоду скольжения, лучше выравнивают случайные колебания, но при этом ряд выровненных значений «укорачивается». Использование меньшего периода скольжения приводит к меньшему укорачиванию ряда, но в этом случае хуже гасится воздействие случайных факторов.

Другим методом выравнивания динамического ряда является аналитическое выравнивание.

При аналитическом выравнивании теоретические (расчетные) значения ряда определяют, исходя из предположения об их зависимости от времени , т.е.

^Y = f(t).

Задача заключается в выборе формы тренда, выражающей сущность изучаемого процесса, в расчете неизвестных параметров уравнения тренда ( ) с помощью теории корреляции методом наименьших квадратов. Следовательно, для аналитического выравнивания могут использоваться разнообразные формы тренда.

Наиболее распространенными в экономике являются следующие регрессионные модели долговременных составляющих аналитической модели ряда динамики (функции тренда).

1. Линейная модель – полином первой степени (Полином – многочлен)

2. Степенная модель

3. Параболическая модель – полином второй степени

4. Показательная модель

5. Гиперболическая модель

6. Логарифмическая модель

Выравнивание эмпирических данных по заданной функции начинается с определения ее параметров. Расчет параметров уравнения может быть произведен:

- методом средних;

- методом наименьших квадратов (МНК);

- методом аппроксимации (метод последовательных приближений).

Наиболее распространенным среди указанных методов является МНК. Аналитическое выравнивание эмпирических данных по МНК предполагает нахождение такого теоретического уровня, который удовлетворял бы следующим двум условиям:

А) сумма линейных отклонений теоретических значений ряда от эмпирических равна нулю:

(3.28)

Б) сумма квадратов этих отклонений есть величина наименьшая:

(3.29)

Следует помнить, что МНК может использоваться для расчета параметров уравнения только в случае, когда, во-первых, выбранные уравнения линейны относительно своих параметров, а между учтенными и неучтенными факторами нет связи; и, во-вторых, отклонения эмпирических значений ряда от теоретического уровня подчиняются закону нормального распределения.

Для вычисления параметров, которые не входят в уравнение линейно и когда никакими преобразованиями нельзя установить линейного соотношения между параметрами и уравнением, применяется метод последовательного приближения или метод аппроксимации.

Согласно МНК, параметры уравнений искомой кривой показателя находятся из системы нормальных уравнений:

Для линейной зависимости система уравнений имеет вид

(3.30)

При выборе зависимости может получиться так, что ряд динамики выравнивается несколькими видами зависимостей (наряду с линией может быть экспоненциальная зависимость).

Задача исследователя состоит в выборе уравнения, которое в наибольшей степени соответствует характеру исследуемого процесса. Для этого используются статистические характеристики, в том числе, такие как сумма квадратов отклонений, корреляционное отношение (коэффициент парной корреляции), коэффициент детерминации.

1. Коэффициент корреляции находится по формуле:

Ккор = (3.31)

Числитель в дроби – дисперсия, объясняемая регрессией.

Знаменатель – общая дисперсия.

2. Коэффициент детерминации определяется как квадрат коэффициента корреляции.

Самым простым способом определения сезонных составляющих является индекс сезонности:

, (3.32)

где - значение уровня ряда динамики, соответствующее интересующему нас интервалу времени (сезону);

- среднее значение уровней ряда динамики.

Расчет индекса сезонности по одному году является ненадежным, так как в этом случае велика вероятность влияния случайных факторов. Поэтому на практике при расчете индекса сезонности пользуются месячными данными за К лет (в основном, не менее, чем за три года).

В этом случае индекс сезонности равен:

, (3.33)

где - среднее значение уровня за К лет.

= , = (3.34)