Секция «математика»

АНАЛОГ ЗАДАЧИ ГУРСА ДЛЯ СИСТЕМ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ

Медведева К.В., научный руководитель доцент Андреев А.А.

(Самарский государственный технический университет)

Рассматривается система уравнений в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами гиперболического типа (матричное волновое уравнение):

(1)

где – искомый вектор; – заданная постоянная квадратная матрица размерности . Для решения данной системы находятся собственные значения ( ) и соответствующие собственные вектора матрицы, вводится диагональная матрица , , – вектор, координаты которого есть составляющие ой строки обратной матрицы для матрицы перехода при преобразовании матрицы к диагональному виду , ,

Известен пример А.В. Бицадзе, иллюстрирующий тот факт, что задача Гурса для систем гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами при некорректна по Адамару.

Аналог задачи Гурса: найти решение системы уравнений (1) на плоскости при заданных условиях на характеристиках:

Определение. Регулярным решением аналога задачи Гурса на плоскости будем называть вектор , который удовлетворяет матричному волновому уравнению (1).

Теорема. Если то регулярное решение аналога задачи Гурса для матричного волнового уравнения (1) корректно по Адамару.

ХАРАКТЕРЫ И СУПЕРХАРАКТЕРЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Шур Т.В., научный руководитель проф. Панов А.Н.

(Самарский государственный университет)

Традиционной задачей в теории представлений конечных групп является задача классификации неприводимых представлений. Для некоторых групп эта задача является чрезвычайно трудной. К группам такого сорта относится, например, унитреугольная группа. П. Диаконис и И.М. Айзекс в 2008 году предложили заменить задачу классификации неприводимых представлений задачей построения так называемой теории суперхарактеров. Основным примером здесь является построенная в 1995-2003 годах К. Андре теория базисных характеров унитреугольной группы. Многие классические теоремы теории характеров конечных групп переносятся на суперхарактеры. Теория суперхарактеров активно развивается рядом математиков в разных странах (П. Диаконис, И.М. Айзекс, К. Андре, А. Нето, Н. Ян, Е. Марберг и др.). В настоящее время содержательные теории суперхарактеров построены для унитреугольной группы, для силовских подгрупп, ортогональной и симплектической групп.

Классифицированы неприводимые представления и построены теории суперхарактеров для конечных треугольных групп малой размерности. Для каждого суперхарактера найдено его разложение на неприводимые характеры. Для унипотентных групп получена геометрическая интерпретация в терминах метода орбит А.А. Кириллова.

РЕШЕНИЕ СМЕШАННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА МЕТОДОМ ТЕЙЛОРОВСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

Ильичева М.А., научный руководитель доц. Павлова Г.А.

(Самарский государственный технический университет)

В работе развиваются идеи модификации сеточных методов на основе тейлоровских разложений для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами и с различными краевыми условиями. Проводится анализ сходимости, аппроксимации и устойчивости метода. Доказано, что соответствующий тейлоровский оператор аппроксимирует дифференциальный оператор четвертого порядка со вторым порядком точности относительно шага. Произведена оценка погрешности решения, полученного методом тейлоровских разложений, относительно аналитического решения дифференциального уравнения.

Результаты численных экспериментов показали, что точность разработанного метода по сравнению с классическим методом сеток увеличивается более чем на порядок, при этом шаг дискретизации, шаблон, размерность основной системы уравнений не изменяются. Погрешность, даваемая методом тейлоровских разложений, существенно уменьшается относительно метода сеток с увеличением количества членов в разложении. Таким образом, варьируя числом членов разложения в ряд Тейлора и дифференцируя нужное число раз исходное дифференциальное уравнение, можно получать существенно более точные разностные схемы (по сравнению с классическим методом сеток) при одном и том же шаге разбиения и объеме вычислений.

ГРАДУИРОВАННОСТЬ МНОЖЕСТВА РАССТАНОВОК ЛАДЕЙ

Барышников И.В., научный руководитель доц. Игнатьев М.В.

(Самарский государственный университет)

Расстановкой ладей называется произвольное подмножество в системе корней Ф, состоящее из корней с попарно неположительными скалярными произведениями. Частным случаем расстановки ладей является ортогональное подмножество. В работе М.В. Игнатьева и А.С. Васюхина J. Lie Theory 24 (2014), no. 4, 931-956, рассмотрен важный частичный порядок на множестве расстановок ладей в системе корней типа А, связанный с примыканиями орбит борелевской подгруппы. Его ограничение на ортогональные подмножества ранее изучалось М.В. Игнатьевым и Ф. Инчитти.

В частности, Ф. Инчитти показал, что множество ортогональных подмножеств является градуированным, то есть в нём есть наибольший и наименьший элементы и все максимальные цепи в нём имеют одну и ту же длину. Доказываем, что аналогичный факт верен для всего множества расстановок ладей. Основным инструментом в доказательстве являются так называемые инволюции Керова.

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

РЕГРЕССИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

Шарапова Е.А., научный руководитель доц. Котенко А.П.

(Самарский государственный аэрокосмический университет)

Предложен метод многокритериальной оптимизации в случае стохастического поведения параметров исследуемой системы. Проблема актуальна, поскольку задачи практики (химические технологии, экономические системы и пр.), как правило, являются многокритериальными. При этом стохастическое изменение параметров усложняет само определение оптимального значения векторного критерия оптимизации.

Рассмотрен процесс производства сложного нефтепродукта, требующий оптимального расходования дорогостоящих ресурсов. Задача решена с использованием системы линейных регрессионных уравнений. Составлены структурная и приведённая формы модели процесса, найдены условия идентифицируемости параметров несмещёнными состоятельными точечными оценками. С помощью коэффициентов детерминации и критерия Фишера проверены как значимость полученных регрессий в целом, так и значимость вклада управляющих регрессоров.

По найденным выборочным оценкам определён алгоритм подбора оптимальных управляющих экзогенных параметров, гарантирующий получение допустимых технологически эндогенных целевых параметров.

ЗАДАЧА С ДИНАМИЧЕСКИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

Киричек В.А. научный руководитель проф. Пулькина Л.С.

(Самарский государственный университет)

Рассматривается задача о колебаниях пружины, если к ее концам прикреплен груз. В этом случае краевые условия содержат вторую производную по времени.

Математическая модель этой задачи может быть представлена следующим образом: найти в QT = (0,l) x (0,T), где T (0, ∞) решение уравнения

u_tt – a²u_xx = f(x,t),

удовлетворяющее начальным данным

u(x,0) = Ψ (x), u_t(x,0) = G (x)

и динамическим граничным условиям

au_x(0,t) – h₁u_tt = 0, au_x(l,t) + h₂u_tt = 0,

где h₁, h₂ - положительные постоянные. Рассмотрены вопросы о методах исследования задачи, а также условия на входные данные, обеспечивающие однозначную разрешимость поставленной задачи.

ЗАДАЧИ С ДАННЫМИ НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛОКАЛЬНО НАГРУЖЕННОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Юдаева Ю.С., научный руководитель доцент Огородников Е.Н.

(Самарский государственный технический университет)

Рассмотрено нелокально нагруженное дифференциальное уравнение с волновым оператором

в области , где , – искомая функция, – след искомой функции на линии в точках , ; – интеграл Римана-Лиувилля порядка . Пусть , , – суть аффиксы точек пересечения характеристик уравнения, ограничивающих область с характеристиками, выходящими из произвольной точки с координатами .

Обоснована корректность задачи с данными на параллельных характеристиках , , для. Показано, что задача с данными на другой паре параллельных характеристик , однозначно неразрешима.

Если в исходном уравнении , то корректной оказывается вторая задача, в то время как первая – будет однозначно неразрешима.

Задача ОБ УНИВЕРСАЛЬНОМ НАБОРЕ КЛЮЧЕЙ

Приходько А.С., научный руководитель доц. Лыков К.В.

(Самарский государственный университет)

В работе решается следующая задача. Замок и ключ представляют собой упорядоченный набор чисел от 1 до n. Ключ открывает замок при совпадении n – 1 элементов. Вопрос: какое минимальное число ключей требуется, что бы можно было открыть любой замок?

Решение основывается на переходе к задаче о ладье на n-мерном шахматном поле. Задача сводится к расстановке ладей таким образом, что бы все поля оказались битыми. Такая абстракция дает возможность сделать оценку количеству ладей сверху, и, как следствие, получить ответ.