Электромагнитные колебания
Основная задача в теории электромагнитных колебаний – нахождение закона изменения во времени какой-либо электрической или магнитной физической величины. Далее, используя уравнения, связывающие эту величину с другими, определяют значения и этих величин.
Задача 1
Определить
В
внутри
катушки идеального колебательного
контура в момент времени t
= 10-4.1/6
π c,
если
при t
=
0
заряд
на конденсаторе q
0
=
10-5Кл,
а
сила тока I0=0.
L
=
10-3Гн,
n
=
103м-1
– число
витков на 1 м длины катушки, С = 10-5Ф.
Среда – вакуум. Вt
-
? R
≈ 0
Р е ш е н и е
В контуре происходят свободные незатухающие колебания. Дифференциальное уравнение таких колебаний:
,
(1)
решение которого
(2)
ω0 - ? qm - ? α - ?
;
;
B
= μ0μnI
–
поле
соленоида
qm и α найдем из начальных условий:
q = q0 при t = 0 → q0 = qmSinα → q0 = qm , так как Sin900=1
при
t
=
0 →
I0
= qmω0Cosα
= 0 → α
= 900
Т.о.,
;
B
= μ0μnI
→
Задача 2
В колебательном контуре R = 102 Ом, L = 10-2 Гн, С = 10-6 Ф. Определить ток I
в контуре в момент t = 5.10-5 c, если при t = 0 заряд на конденсаторе
q0 = 10-5 Кл, а начальная сила тока I0 = 0.
Р е ш е н и е
Для решения основной задачи нужно определить все параметры (ω, β, qm, α) уравнения затухающих колебаний:
(1);
;
β и ω найдем из условий задачи: β = 5.103 рад/с; ω ≈ 8,7.103 рад/с. α и qm найдем из начальных условий:
При t = 0 q = q0 → q0 = qmSinα (2)
I0
=
0;
;
(3)
Подставляем сюда t = 0 → -βSinα+ωCosα=0 (3)
q0 = qmSinα (2)
-βSinα
+ ωCosα=0
(4) Решая
эту систему уравнений, определяем α
и
qm
→
α
≈ π/3 = 600
→ (2) qm
= q0
/Sin600
= 2q0/
√3 → (1)
Подставляя
полученные значения величин в формулу
тока (3),
получим: I
≈ 4,6.10-2A.
Задача 3
С
опротивление
R
= 10 Ом и катушка L
=
0,1 Гн соединены последовательно. Какую
емкость нужно включить последовательно
в цепь, чтобы уменьшить сдвиг фаз между
ЭДС и силой тока на Δφ
=
270?
Частота изменения гармонической ЭДС ν
=
50 Гц.
Р
е ш е н и е 
И
спользуем
метод векторных диаграмм.
φ2 = φ1- Δφ = 450; tgφ2 = tg450 = 1;
ω
= 2πν
→ R
=
ωL-1/ωC
→
R ωC = ω2LC – 1; → Cω(ωL – R) = 1
Задача 4
В цепь переменного тока с Uэф = 220 В (ν = 50 Гц) включены последовательно конденсатор С = 18 мкФ, резистор R =10 Ом, дроссель L = 0.6 Гн, на котором напряжение опережает ток на угол α = 600. Определить: 1) мощность, выделяемую на каждом из элементов и во всей цепи; 2) коэффициент мощности.
Решение
I= const → P=I 2эфR (R- активное сопротивление)
(если U = const – параллельное соединение: Р=U 2эф/R)
PC = 0, так как конденсатор не имеет активного сопротивления R.
PR = I 2R – на омическом сопротивлении R.
P
др.=
I
2r
– на
дросселе, r
– активное сопротивление дросселя;
Р = РR + Pдр – во всей цепи.
Р = IэфUэфCosφ →Cosφ = P/IU. I - ?
Из Рис.: UL= UдрSinα ; Ur=UдрCosα
Обозначим: U1 = I (R + r);
U2 = I (ωL - 1/ωC)
;
PR
= I 2R
;
Pдр
= I
2
r;
I
2
= 3,39 A2
PR = 33,9 Bт Рдр = 369,17 Вт Р = РR + Pдр = 403 Вт
