Некоторые элементарные функции Линейная функция, ее свойства и график

Определение. Линейной функцией называют функцию, заданную формулой где х – независимая переменная величина,

Областью определения и множеством значений данной функции является множество R – всех действительных чисел.

Функцию называют линейной, потому что графиком ее является прямая линия. Многие физические законы выражаются с помощью линейной функции.

Линейная функция является четной, если а=0, тогда у=b, есть прямая параллельная оси Ох, ее график симметричен относительно оси ординат (Рис. 55).

Рис. 55

Линейная функция является нечетной, если b=0 и ни нечетной, ни четной, если

Докажем это:

− если а=0, то Значит то есть функция является четной;

− если то Значит то есть функция является нечетной;

− если то и Итак, то есть функция не является ни нечетной, ни четной;

− если а=0, b=0, то получается функция у=0, которую считают и четной и нечетной.

Линейная функция возрастает, если а>0, убывает, если а<0, при а=0 линейная функция является постоянной.

Доказательство. Пусть . Сравним числа где имеем

Так как , то знак разности зависит от знака .

Если , , то есть и функция возрастает на всей области определения.

Если , , то есть и функция убывает на всей области определения.

Таким образом, линейная функция возрастает, если угловой коэффициент положителен, и убывает, если он отрицателен. При линейная функция является постоянной.

Функция , а 0 имеет единственный корень , делит числовую ось на два промежутка и , которые называются промежутками знакопостоянства линейной функции.

Графиком линейной функции является прямая линия.

У линейной функции изменение функции пропорционально изменению аргумента. Это характеристическое свойство линейной функции.

Доказательство. Рассмотрим два значения аргумента х₁ и х₂, и соответствующие им значения линейной функции и Изменение аргумента на величину х₂–х₁ вызывает изменение функции на величину у₂–у₁=а(х₂–х₁). При этом отношение изменения функции к изменению аргумента равно а: Таким образом, у линейной функции изменение функции пропорционально изменению аргумента. Поэтому с помощью линейной функции описываются пропорциональные зависимости.

Примеры. Цена р купленного отрезка ткани пропорциональна его длине l, а именно: p=kl, где k – цена одного метра ткани.

При равномерном движении с постоянной скоростью v пройденный путь S пропорционален времени t, то есть S – линейная функция и выражается формулой S=vt.

Прямая пропорциональность, ее свойства и график

Частным случаем линейной функции является прямая пропорциональная зависимость, которая может быть выражена формулой представляющая собой линейную функцию при b=0.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона, образованного прямой с положительным направлением оси Ох. Таким образом, график линейной функции , b 0 может быть получен из графика функции у=ах параллельным переносом на b единиц вниз при b<0 и на b единиц вверх при b>0. Поскольку прямая определяется двумя точками, то для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух ее точек.

Область определения (существования): (– ; + ), то есть Множество значений (область изменения) функции : (– ; + ), то есть Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Функция не периодическая: f(х+Т) f(x).

Функция нечетная, так как R – симметричное множество и Следовательно, график данной функции симметричен относительно начала координат.

Функция является возрастающей на всей области определения. Точка О(0; 0) – единственная точка пересечения с осями координат.

Графиком данной функции является прямая, проходящая через начало координат точку О(0;0).

Теорема. График функции есть прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов (Рис. 56)

Рис. 56

Доказательство. Прямая проходит через начало координат. Поскольку функция нечетная, то ее график симметричен относительно начала координат и потому достаточно рассмотреть ее на множестве [0; + ).

Если х>0, то у>0, следовательно, точка А принадлежит I четверти. Найдем проекцию точки А на ось Ох. Следовательно, АА₁ Ох. |ОА₁|=х, |АА₁|=у. Так, , то АОА₁ является равнобедренным и прямоугольным. Следовательно, по теореме о сумме внутренних углов равнобедренного треугольника угол АОА₁ 45⁰. Следовательно, ОА – биссектриса I четверти. Отображая график функции относительно начала координат, получим, что точка А принадлежит биссектрисе I и III координатных углов.

Докажем, что точка А, принадлежащая биссектрисе, удовлетворяет условию .

Пусть А(х; у) – произвольная точка биссектрисы:

− если А принадлежит первому координатному углу, то х>0, у>0;

− если А принадлежит третьему координатному углу, то x<0, y<0.

Найдем проекцию точки А на ось Ох. Имеем АА₁ Ох и |АА₁|=у, |ОА₁|= х.

Рассмотрим треугольник АОА₁. Так ОА – биссектриса, то угол АОА₁=45⁰. Следовательно, ОАА₁=45⁰ и треугольник АОА₁ – равнобедренный. Значит, |ОА₁|=|АА₁| и следовательно, . Поскольку точка А выбрана произвольно, то это справедливо для всех точек биссектрисы.

Определение. Две величины называют пропорциональными, если при изменении значений одной из них в некотором отношении, значения другой изменяются в таком же отношении.

Коэффициентом двух величин, находящихся в прямой пропорциональной зависимости, называют отношение одной из них к соответствующему значению второй, то есть если , то

При а=0 функция возрастает на всей области определения, при а<0 данная функция убывает.

Если одна величина, прямо пропорциональна другой, с коэффициентом пропорциональности а, то другая прямо пропорциональна первой с коэффициентом пропорциональности .

Действительно, если , то

Две величины прямо пропорциональны тогда и только тогда, когда любое значение одной из них у, равно произведению соответствующего значения другой х, на одно и тоже число а.

Прямая пропорциональность обладает особым свойством.

Теорема. Пусть (х₁; у₁) и (х_2; у₂) – пары соответствующих значений величин х и у, находящихся в прямой пропорциональной зависимости, причем х₂ 0, то , то есть отношение двух значений переменной х равно отношению соответствующих значений переменной у.

Доказательство. Действительно, для двух различных значений х₁ и х₂ имеем у₁=ах₁ и у₂=ах₂, так как х₂ 0, а 0, то у₂ 0. Следовательно, . Теорема доказана.

Это свойство может быть сформулировано иначе: если значение одной из двух величин, находящихся в прямой пропорциональной зависимости увеличить (уменьшить) в несколько раз, то соответствующие значения другой увеличиваются (уменьшаются) во столько же раз.

Примерами величин, находящихся в прямой пропорциональной зависимости, являются длина окружности и ее радиус, площадь посева и количество собранного урожая (при одинаковой урожайности с одного гектара); расстояние и время (при постоянной скорости движения).