Понятие обратной функции

Пусть задана функция с областью определения D множеством значений Е. Если каждому значению соответствует единственное значение то определена функция с областью определения Е и множеством значений D. Функцию называют обратной к функции и записывают: . О функциях и говорят, что они являются взаимно обратными.

Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно х (если это возможно).

Примеры. Для функции у=2х обратной является функция х= у.

Для функции у=х , обратной является функция заметим, что для функции у=х , обратной функции не существует, так как одному значению у соответствует два значения х (если , то ).

Независимую переменную, как правило, обозначают через х, а зависимую  через у. Чтобы из графика данной функции получить график обратной ей функции , очевидно, достаточно первый график зеркально отобразить относительно биссектрисы I и III координатных углов (Рис. 42).

Рис. 42

Графики основных элементарных функций

Степенная функция: , где  действительное число.

Функция определена при , если >0, и при , если <0.

Если >0, то графики функций представляют собой параболы соответственно первого, второго и т.д. порядков.

Графики некоторых, наиболее часто встречающиеся функций приведены на рисунке 43.

Рис. 43

Показательная функция: где а  постоянное число, причем а>0, а≠1. Данная функция определена при всех значениях х. Функция имеет положительные значения и монотонно возрастает от 0 до + при а>1 и монотонно убывает от  до 0 при 0<а<1.

Графики функций приведены на рисунке 44.

Рис. 44

Логарифмическая функция: , где а>0, а≠1. Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции. Поданному график логарифмической функции получается из графика показательной с помощью зеркального отображения последнего относительно биссектрис I и III координатных углов. Графики функций приведены на рисунке 45.

Рис. 45

Тригонометрические функции

Графики тригонометрических функций , , , приведены на рисунке 46.

Рис.46

Обратные тригонометрические функции

Графики обратных тригонометрических функций , , , приведены на рисунке 47.

Рис. 47

Ограниченные функции

Определение. Функцию , определенную на множестве Х, называют ограниченной снизу, если существует число А, такое, что А f(x) для любого

Пример. Функция ограниченна снизу на всей области определения, так как для x R.

Определение. Функцию , определенную на множестве Х, называют ограниченной сверху, если существует число В, такое, что f(x) В для любого

Пример. Функция ограничена сверху на всей области определения, так как для любого х, такого, что

Определение. Функцию , определенную на множестве Х, называют ограниченной, если существует число М>0, такое, что |f(x)| М для любого х Х.

Пример. Функция ограничена на всей области определения, так как

Иначе говоря, функция , определенная на множестве Х, ограничена на этом же множестве тогда и только тогда, когда она одновременно ограничена и снизу и сверху на этом множестве.

Пример. Функция ограничена на области существования Х=[–1; 1], так как на этом множестве она снизу ограничена нулем, а сверху – единицей.

Пример. Определим, ограничена ли функция

Решение. Область определения данной функции .

Выразим зависимость переменной х от у. Для этого решаем уравнение относительно переменной х, имеем:

Если , то уравнение имеет корни: Значит, график функции пересекает ось в точках с абсциссами

Пусть , тогда Тогда, Следовательно, функция ограничена снизу.

Пример. Определим, является ли функция ограниченной.

Решение. Область определения D(у): х+2 0 х –2. Следовательно,

Выразим зависимость переменной х от у. Для этого решаем уравнение функции относительно переменной х, имеем:

у(х+2)=х–1; ух+2у=х–1; х–ух=2у+1; х(1–у)=2у+1; .

Е(у): 1–у 0 у 1. Следовательно, функция не ограничена.