Обратная пропорциональная зависимость

Определение. Две переменные величины называют обратно пропорциональными, если при изменении значений одной из них в некотором отношении, значения другой изменяются в обратном отношении.

Примеры. Скорость движения и время, необходимое для прохождения определенного участка пути обратно пропорциональны. Данная зависимость задает функцию формулой

Высота прямоугольника, определенной площади, обратно пропорциональна основанию. Если а, b стороны прямоугольника, а S – его площадь, то зависимость между высотой b и стороной а, при постоянной площади выразится формулой: .

В общем виде зависимость между величинами, находящимися в обратной пропорциональной зависимости, выражается формулой , где х, у – переменные, k – называемая коэффициентом обратной пропорциональности, постоянная величина, х 0.

Областью определения и областью значений функции является множество действительных чисел R, отличных от нуля.

Функция нечетная, так как область определения функции – симметричное множество и f(х)= , то есть . Таким образом, график функции симметричен относительно начала координат.

При k>0, функция убывает на промежутке (0; + ).

Доказательство. Пусть х₁>0, х₂>0 и х₁<х₂, тогда , Найдем разность: . Следовательно, . Итак, из того, что 0<x₁<x₂ следует f(х₁) . Это означает, что функция , k>0 убывает на промежутке (0; + ).

Итак, при k>0 функция убывает, при k<0 возрастает.

Функция непериодическая, неограниченная.

С увеличением (уменьшением) значений одной из двух величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости в несколько раз, соответствующее значение другой уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если одна величина обратно пропорциональна другой с коэффициентом обратной пропорциональности k, то другая обратно пропорциональна первой с тем же коэффициентом обратной пропорциональности k.

Все значения одной из двух величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости, можно получить путем деления одного и того же числа k на соответствующее значение другой величины.

Действительно, если обратная пропорциональность задана формулой , имеем, что . Так как х₂ 0, k 0, у₁ 0, то

Графиком обратной пропорциональной зависимости является кривая, которую называют гиперболой. Ветви гиперболы неограниченно, или, как принято говорить, асимптотически приближаются к осям координат. Оси координат, то есть прямые у = 0, х=0, называют соответственно горизонтальной и вертикальной асимптотами графика функции . При k>0 ветви графика находятся в первой и третьей четвертях (Рис. 57а), при k<0 – во второй и четвертой (Рис. 57б).

Рис. 57

Для построения графика функции , k=1, построим сначала ветвь графика на открытом луче (0; + ). Составим таблицу значений функции.

х	1/4	1/2	1	2	4
у	4	2	1	1/2	1/4

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой. Это и есть ветвь графика функции на промежутке (0; + ).

Воспользовавшись нечетностью функции , к построенной ветви добавим ветвь, симметричную ей относительно начала координат. В результате получим график функции , который называют гиперболой.

График функции , при k=–1, х 0 расположен во втором и четвертом координатных углах.