Точки максимума и минимума. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке
На
графике функции
,
определенной на отрезке [а,
в] (Рис. 52),
видим, что в точке х1
значение
больше всех значений, принимаемых
функцией в точках, близких к точке
.
В точке
значение
меньше всех значений, принимаемых в
точках, близких к точке
.
Такие точки называют точками минимума
и максимума. В математике для придания
смысла словам «точки близкие к точке
»
используется введенное выше понятие
окрестности точки.
Рис.
52
Определение.
Точку
называют
точкой
минимума
функции
,
если найдется такая точка окрестности
точки х0,
что для всех х
из данной окрестности выполняется
то есть
наименьшее значение функции
в некоторой окрестности точки
.
Значение
функции
в точке
называют
минимумом.
Обозначают:
Определение.
Точку
называют
точкой максимума функции
,
если найдется такая окрестность точки
,
что для всех
из данной окрестности выполняется
то есть
наибольшее значение функции
в некоторой окрестности точки
.
Значение
функции
в точке
называют
максимумом и обозначают:
Из
определений следует, что точка
является точкой максимума,
а точка
– точкой
минимума,
(Рис. 52).
Пример. Рассмотрим функцию y=ах2. Покажем, что при а>0, точка х является точкой минимума, а при а<0 – точкой максимума.
Решение.
Пусть а>0.
Известно, что при х
0
функция y=ах2
убывает от
до нуля, при х
0
возрастает от нуля до
Согласно определению точки минимума,
это означает, что х=0
является точкой минимума функции y=ах2.
Рассмотрите самостоятельно случай а<0.
Пример.
Определить существование максимума и
минимума у функции
Решение. Построим график данной функции (Рис. 53):
Рис.
53
Выберем
окрестность
точки х=0.
Линейная
функция
возрастает на промежутке
,
квадратичная функция
убывает на промежутке
.
Следовательно, значение функции
в точке 0 будет больше всех других
значений, принимаемых функцией в
выбранной окрестности. По определению
точки максимума х=0
является точкой максимума,
Выберем
окрестность
точки х=1.
Квадратичная
функция
убывает на промежутке
и возрастает на промежутке
.
Это означает, что значение функции
в точке х=1
меньше всех других значений, принимаемых
функцией в выбранной окрестности.
Согласно
определению
точки минимума х=1
является точкой минимума,
Определение. Точки минимума и максимума называют точками экстремума2, значения функции в этих точках – экстремумами.
Пример.
Найдем точку
минимума для функции
Решение. Областью определения данной функции является множество . Исследуем функцию х ( ) на возрастание и убывание.
Фиксируем
.
Определим знак разности
,
имеем:
.
Так
как
,
то знак разности
зависти от знака выражение
.
Рассмотрим случай
Оценим выражение
,
Для этого заменим
имеем:
Следовательно, на
Таким образом, на
функция
убывает.
Аналогично,
на
функция
возрастает.
Следовательно,
– точка минимума функции
Найдем значение минимума функции:
Рис. 54
Рассмотрите самостоятельно случай а<0.
Схема исследования функций
Если для рассматриваемой функции изучены все перечисленные выше свойства, то говорят, что проведено исследование функции.
При исследовании функции целесообразно определить:
− область определения функции;
− множество значений функции;
− ограниченность функции;
− наибольшее и наименьшее значения функции;
− четность или нечетность функции;
− периодичность функции;
− промежутки монотонности функции;
− точки пересечения графика с осями координат;
− график данной функции.