Квадратичная функция, ее свойства и график

Определение. Функцию вида , где действительные числа, называют квадратичной.

Квадратичная функция является важной элементарной функцией. Многие физические законы выражаются квадратичной функцией. Например, количество тепла Q, выделяемого при прохождении тока в проводнике с сопротивлением R, выражается через силу тока J формулой Q=R J².

Простейший частный случай квадратичной функции есть функция . График квадратичной функции называют параболой. У парабол вида вершина находится в начале координат. При a>0 ветви параболы направлены вверх. Начало координат О(0;0) − точка минимума функции . При а<0 ветви параболы направлены вниз (Рис. 58). О(0;0) − точка максимума функции .

Рис. 58

Парабола – одно из конических сечений. Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоконусового вращения.

График функции отличается от графика своим положением на плоскости.

Если то .

Если , то

Если то .

Исследуем частный случай квадратичной функции .

Область определения функции множество действительных чисел. Множество значений функции :

Исследуем функцию на возрастание (убывание).

Исследуем функцию на возрастание (убывание) на промежутке

Пусть х₁>0, х₂>0 и х₁<х₂, тогда Найдем разность: Следовательно, Это означает, что функция , возрастает на промежутке

Пусть х₁<0, х₂<0 и х₁<х₂, тогда Найдем разность: Следовательно, Это означает, что функция , убывает на промежутке .

В точке функция имеет минимум:

Функция четная, так как График четной функции симметричен относительно оси ординат. Данная функция непериодическая. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы, заданной уравнением , находится в точке О с координатами: Осью симметрии является ось Ох (Рис. 59).

Рис. 59

Вопросы для самопроверки

1. Какие множества называют числовыми? Приведите примеры числовых множеств.

2. Какое число называют положительным действительным числом? Укажите свойства множества действительных чисел .

3. Дайте определение окрестности точки ; -окрестности точки .

4. Дайте определение функции одного переменного.

5. В каком случае функцию называют числовой?

6. Дайте определение а) области определения функции; б) множества значений функции. На что следует обращать внимание при нахождении области определения элементарной функции?

7. В каком случае функцию считают заданной? Какие способы задания функции вам известны? Приведете примеры.

8. Что называют графиком функции Какому условию удовлетворяют координаты всех точек, принадлежащих графику функции?

9. Запишите общий вид а) целой рациональной функции; б) дробно-рациональной функции.

10. Какую функцию называют а) иррациональной; б) трансцендентной? Приведите примеры таких функций.

11. Что представляет класс рациональных функций? Приведите примеры рациональных функций.

12. Что представляет класс явных алгебраических функций? Приведите примеры явных алгебраических функций.

13. Какие функции называют а) элементарными функциями; б) основными элементарными функциями? Приведите примеры.

14. Дайте понятие функции от нескольких переменных.

15. Дайте определение а) функции от двух переменных; б) области определения функции двух переменных. Приведите примеры функции от двух переменных.

16. Дайте определение а) неявной функции; б) области существования неявной функции. Приведите примеры неявных функций.

17. Дайте понятие обратной функции. Приведите примеры взаимно обратных функций.

18. Назовите функции обратные данным: а) ; б) в) г)

19. Как из графика данной функции получить график обратной ей функции ?

20. Установите соответствие между функциями и их графиками (Рис. 60 а).

Квадратичная функция

Показательная функция где  постоянное число, причем >0, ≠1.

Тригонометрическая функция .

Обратные тригонометрические функции:

Логарифмическая функция , где а>0, а≠1.

Тригонометрическая функция .

Обратные тригонометрические функции:

Рис. 60 а)

21. Дайте определение а) функции, ограниченной снизу; б) ограниченной сверху функции; в) ограниченной функции.

22. Какое множество называют симметричным относительно начала координат?

23. Дайте определение а) четной функции; б) нечетной функции; в) функции общего вида. Приведите примеры таких функций.

24. Что можно сказать о графике а) четной функции; а) нечетной функции?

25. Докажите утверждения. 1) Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией. 2) Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией. 3) Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией. 4) Если функция четна (нечетна), то и функция , , четна (нечетна).

26. Дайте определение периодической функции. Приведите примеры периодических функций.

27. Пусть функция задана на множестве Х. Если число является периодом функции, то что можно сказать о числе ? Ответ обоснуйте.

28. Дайте определение а) возрастающей функции; б) убывающей функции; в) невозрастающей функции; г) неубывающей функции; д) функции, монотонной на всей области определения. Приведите примеры таких функций.

29. Определите возрастает или убывает функция, определенная на Х, если а) меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции; б) меньшему значению аргумента соответствует не большее значение функции; в) меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

30. Дайте определение а) точки минимума функции ; б) точки максимума функции ; в) точки экстремума функции. Как называют значения функции в таких точках?

31. Какие свойства функции целесообразно изучить для ее исследования?

32. Какую функцию называют линейной? Перечислите свойства линейной функции. Что является графиком линейной функции?

33. Докажите, что линейная функция возрастает, если , и убывает, если .

34. Назовите промежутки знакопостоянства линейной функции.

35. Укажите характеристическое свойство линейной функции.

36. Проведите исследование функции Как называют данную функцию?

37. Дайте определение величин, находящихся в прямой пропорциональной зависимости. Что называют коэффициентом двух величин, находящихся в прямой пропорциональной зависимости? Приведите примеры величин, находящихся в прямой пропорциональной зависимости.

38. Величина , прямо пропорциональна величине , с коэффициентом пропорциональности 5. Найдите коэффициент пропорциональности величины к величине .

39. Дайте определение величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости. Приведите примеры величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости. Что является графиком обратной пропорциональной зависимости?

40. Исследуйте функцию . Постройте график данной функции.

41. Дайте определение квадратичной функции. Что является графиком квадратичной функции?

42. Исследуйте функцию . Постройте график данной функции.