Понятие функции от нескольких переменных

Понятие функции одной независимой переменной естественно распространяется на случай нескольких переменных.

Переменную величину называют однозначной функцией от нескольких переменных.

Определение. Величину называют функцией от двух переменных х и у, если каждой рассматриваемой совокупности значений величин х и у (допустимые значения) соответствует одно определенное значение величины .

Здесь переменные х и у называют независимыми переменными или аргументами; совокупность рассматриваемых их значений называют областью определения или областью существования функции . Область существования функции двух переменных х и у, вообще говоря, представляет собой некоторое множество точек плоскости хОу.

Тот факт, что есть функция от х и у, обычно коротко записывают: , при этом f называют характеристикой функции.

Для обозначения функций двух переменных, как правило, употребляют латинские буквы.

Пример. Площадь S прямоугольника, стороны которого равны х и у, выражается формулой S=xy.

Очевидно, S есть функция двух аргументов х и у, определенная в области х>0, у>0.

Пример. Уравнение состояния газа имеет вид Vp=RT, где V  объем, занимаемый данной массой газа, р  давление, под которым находится газ, Т  термодинамическая температура, R  некоторая постоянная. Разрешая это уравнение относительно V, получим: Таким образом, объем V есть функция от двух переменных: давления р и абсолютной температуры Т, причем данная функция определена в области р>0, Т>0.

Функцию и от трех переменных х, у и z в общем виде можно обозначить так: и=f(x, у, z).

Пример. Объем V=хуz и полная поверхность S=2xy+2yz+2zx прямоугольного параллелепипеда с линейными измерениями х, у и z являются функциями трех аргументов х, у, z, определенными в области х>0, у>0, z>0.

Понятие неявной функции

Определение. Функцию называют явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

Пример. Функция у=х²  явная функция.

Определение. Функцию у от аргумента х называют неявной, если она задана уравнением , неразрешенным относительно зависимой переменной.

Пример. Функция у (y>0), определяемая уравнением х²+у²=1, является неявной.

Чтобы выразить функцию у, определяемую уравнением , в явном виде, достаточно это уравнение разрешить относительно у. Так как для данного значения аргумента х уравнение может иметь несколько (и даже бесконечное множество) корней у, то в общем случае неявная функция является многозначной. Совокупность значений аргумента х, для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один действительный корень у, представляет собой область существования соответствующей неявной функции. Следует отметить, что не всякое уравнение определяет неявную функцию.

Пример. Пусть х и у связаны уравнением х²+у²=1. Здесь у является неявной функцией от аргумента х. Разрешая это уравнение относительно у, получим . Данная формула задает у как явную функцию от х.

Пример. Уравнение х²+у²+1=0, очевидно, не определяет никакой функции (в действительной области).

Иногда разрешение уравнения относительно у затруднительно. В таком случае функцию у приходится изучать, пользуясь непосредственно уравнением, определяющим эту функцию.