2.7. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств, входящих в них функций
В некоторых случаях, при решении иррациональных уравнений, целесообразно применять свойства элементарных функций. Рассмотрим несколько примеров решения иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций.
Использование монотонности функции
Если уравнение имеет вид
где функция
возрастает (убывает), или
где
и
«встречно монотонны», то есть
возрастает, а
убывает, и наоборот, то такое уравнение
имеет не более одного корня. Если удается
привести уравнение к такому виду и при
этом нетрудно подобрать корень, то он
и будет решением данного уравнения.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды). Однако, в таком случае получится уравнение четвертой степени. Попробуем подобрать корень. Это сделать нетрудно: .
Заметим, что левая часть уравнения
– возрастающая функция, а правая часть
уравнения
– убывающая функция. Следовательно,
больше одного корня данное уравнение
иметь не может.
Таким образом, – единственный корень исходного уравнения.
Ответ. .
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Традиционный метод решения уравнений такого вида хорошо известен. Однако, легко заметить, что – корень. Левая часть уравнения задает возрастающую функцию, правая – константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак, – единственный корень.
Ответ. .
Пример. Решим уравнение:
.
Решение.
– стандартное иррациональное уравнение.
Тем не менее, не будем спешить возводить
в квадрат обе части уравнения. Так как,
,
,
то
(функция
возрастающая), и левая часть исходного
уравнения не меньше 2. Следовательно,
данное уравнение корней не имеет.
Ответ. Корней нет.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Поскольку
и функция
возрастающая, то
.
Следовательно, левая часть данного
неравенства области определения
принимает только отрицательные значения,
то есть исходное уравнение корней не
имеет.
Ответ. Корней нет.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Как и в рассмотренных выше
примерах, несложно обнаружить, что
– корень уравнения. Областью определения
исходного уравнения является промежуток
.
В отличие от ранее рассмотренных задач,
левая часть уравнения не задает монотонную
функцию. Однако, легко заметить, что на
указанная функция возрастает, причем
корень
принадлежит промежутку
.
Следовательно,, на данном промежутке
уравнение
имеет единственный корень
.
Исследуем поведение функции
на отрезке
.
Очевидно, что при
,
а
.
Следовательно, на исходное уравнение корней не имеет.
Ответ. .
Использование области определения уравнения
Иногда знание области определения уравнения позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из области определения уравнения.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Данное иррациональное
уравнение можно решить путем традиционного
возведения обеих частей уравнения в
квадрат. Однако, найдя область определения
исходного уравнения, приходим к выводу,
что область определения уравнения –
одноэлементное множество {2}. Подставив
в данное уравнение, приходим к выводу,
что
– корень исходного уравнения.
Ответ. .
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Область определения
исходного уравнения
состоит из всех
,
одновременно удовлетворяющих условиям
и
,
то есть область определения исходного
уравнения есть
пустое множество. Этим решение уравнения
завершается, так как установлено, что
ни одно число не может являться решением,
то есть уравнение не имеет корней.
Ответ. Корней нет.
Использование графиков функций
При решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. В некоторых случаях эскиз графиков помогает выяснить, на какие множества необходимо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения или неравенства было очевидно. Заметим, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но ответ необходимо обосновать.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Область определения
исходного уравнения есть все все значения
переменой
из промежутка
.
Эскизы графиков функций
и
представлены на рисунке 20.
Рис.20 Рис.21
Проведем прямую
.
Из рисунка 20 следует, что график функции
лежит не ниже этой прямой, а график
функции
не выше. При этом эти графики касаются
прямой
в разных точках.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Докажем данное утверждение. Для каждого
имеем
,
а
.
При этом
только для
,
а
только для
.
Это означает, что исходное уравнение
не имеет корней.
Ответ. Корней нет.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Эскизы графиков функций
и представлены на рисунке 21. Легко
проверить, что точка
является точкой пересечения графиков
функций
и
,
то есть
– решение уравнения.
Проведем прямую
.
Из рисунка 21 следует, что данная прямая
расположена между графиками функций
и
.
Докажем, что других решений данное уравнение не имеет.
Для этого докажем, что для
из промежутка
справедливы неравенства
и
,
а для промежутка
справедливы неравенства
и
.
Очевидно, что неравенство
справедливо для
,
а неравенство
для
.
Решим неравенство
.
Это неравенство равносильно неравенству
,
которое можно переписать в виде
.
Решениями неравенства являются все
.
Аналогично показывают, что решениями
неравенства
являются все
.
Следовательно, требуемое утверждение доказано, и исходное уравнение имеет единственный корень .
Ответ. .