2.9. Иррациональные неравенства

Определение. Иррациональным называют неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня или возведена в дробную степень¹.

Способ решения иррациональных неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень. При этом следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, то есть найти область определения неравенства, затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей области определения неравенства или ее частях.

При решении иррациональных неравенств, следует помнить, что при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству.

Если при решении уравнений в результате возведения в четную степень можно получить посторонние корни (что, как правило, легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться².

Например, возведя в квадрат:

• верное неравенство , получим верное неравенство ;

• верное неравенство , получим неверное неравенство ;

• неверное неравенство , получим верное неравенство ;

• неверное неравенство , получим неверное неравенство .

Таким образом, возможны все комбинации верных и неверных неравенств.

Сформулируем несколько утверждений, которые будем использовать при решении иррациональных неравенств.

Утверждение 1. Если обе части неравенства возвести в четную степень, то получим неравенство, равносильное исходному, в том, и только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Утверждение 2. Если обе части неравенства возвести в нечетную степень, то получим неравенство, равносильное исходному.

Утверждение 3. Неравенство вида равносильно системе неравенств:

Утверждение 4. Неравенство вида равносильно совокупности двух систем:

2.10. Методы решения иррациональных неравенств Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств

Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств³.

Наиболее простые иррациональные неравенства имеют вид:

1. или ;

2. или ;

3. или .

Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств: или (1)

Первое неравенство в системе является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство или равносильно совокупности двух систем неравенств: или (2)

Обратимся к первой системе схемы (2). Первое неравенство системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе – условие, при котором это можно сделать.

Вторая система схемы (2) соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства – арифметический корень – неотрицательна при всех , при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех , при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств: или (3)

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех , при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве. Понятно, что неравенство выполняется при этом автоматически.

К схемам (1) – (3) сводится решение практически любой задачи. Рассмотрим несколько примеров⁴.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Правая часть неравенства отрицательна, левая часть неотрицательна при всех значениях , при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Правая часть неравенства отрицательна, левая часть неравенства неотрицательна при всех значениях , при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях , удовлетворяющих условию .

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. В соответствии со схемой (1) решения неравенств этого типа, запишем равносильную неравенству систему неравенств:

Условие выполнено при всех , и нет необходимости добавлять его к выписанной системе.

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Решим неравенство при помощи схемы (2). В данном случае , поэтому можно сразу записать неравенство, равносильное исходному

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Неравенство равносильно системе:

Решим систему , получим .

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Решим неравенство при помощи схемы (1). Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид:

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Решим неравенство при помощи схемы (2). Неравенство равносильно совокупности двух систем:

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Неравенство равносильно системе неравенств:

откуда

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Решим неравенство при помощи схемы (3). Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид:

Ответ.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Возведя обе части неравенства в третью степень, получим равносильное неравенство , откуда или .

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Для решения исходного неравенства рассмотрим два случая: и .

Пусть . При условии обе части исходного неравенства существуют и неотрицательны. Возведя обе части исходного неравенства в квадрат, получим равносильность исходного неравенства и системы неравенств:

Условие обеспечивается первым неравенством системы. Решив систему неравенств, находим , то есть .

Пусть теперь , тогда в силу не отрицательности исходное неравенство справедливо для всех значений , при которых существует .

Следовательно, исходное неравенство равносильно системе неравенств: решив которую, получим: , то есть .

Объединив решения, полученные в обоих случаях, имеем: .

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Пусть , тогда неравенство равносильно системе:

Решив данную систему, находим или , то есть .

Пусть . Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то ни при каких значениях он не может быть меньше нуля.

Следовательно, решением исходного неравенства будет множество, полученное в первом случае.

Ответ. .

Рассмотрим решение иррациональных неравенств вида .

Поскольку , , то должны выполняться условия , , (соответственно ). На множестве, где эти условия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству (соответственно неравенству ), которое сводится к разобранным выше типам неравенств⁵.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Решение исходного неравенства является общей частью решений всех неравенств системы, то есть имеет вид .

Ответ. .

Рассмотрим решение более сложных задач, стараясь свести их решение к стандартным ситуациям – к простейшим неравенствам, рассмотренным выше. Заметим, что приемы сведения во многом аналогичны приемам, применяемым при решении иррациональных уравнений.

Если в неравенстве встречаются два квадратных радикала, обычно приходится неравенство возводить в квадрат дважды, обеспечивая при этом необходимые для этой операции условия.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Перенесем второй радикал в правую часть, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными, и его можно было возвести в квадрат:

.

Решим стандартное неравенство, которое согласно схеме (1) равносильно системе:

Заметим, что для неравенства не выписана его область определения, так как там фигурировало выражение , которое имеет смысл при . Но при таких значениях , имеет смысл и выражение .

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Найдем область определения неравенства:

Заметим, что для избавления от радикала достаточно возвести данное неравенство в квадрат. Для этого необходимо, чтобы обе части его были неотрицательны, что выполняется лишь при выполнении условия (остальные выражения, входящие в неравенство, неотрицательны).

При условии можно умножить данное неравенство на положительное выражение . Итак, если , данное неравенство преобразуется так:

В том случае, когда , данное неравенство будет выполняться, так как его отрицательная левая часть станет меньше положительной правой.

Ответ. .