2.8. Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, такие действия столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, так как иногда приводят к потере или приобретению посторонних решений.

Рассмотрим несколько ситуаций, при которых указанные проблемы возникают.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью «преобразования» . Однако, так поступать не следует, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что . Здесь целесообразно применить формулу .

Применим данную формулу и решим уравнение: .

Ответ. .

Рассмотрим «обратное» преобразование.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. В данном случае целесообразно применить формулу: . Исследуем вопрос о безопасности применения данной формулы. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии . Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Решим уравнение данной системы, получим корни и . Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ. .

Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой: .

Если воспользоваться формулой слева направо, область определения исходного уравнения расширяется и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции и должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, приведем подобные члены, перенесем слагаемые из одной части равенства в другую и умножим обе части на . В результате получим уравнение , являющееся следствием исходного уравнения.

Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение , которое приведем к виду . Полученное уравнение, также являющееся следствием исходного, имеет корни , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. , .

Замечание. При возведении уравнения в квадрат нередко в уравнении типа производят перемножение подкоренных выражений, то есть вместо такого уравнения пишут уравнение: .

Такое «склеивание» не приводит к ошибкам, поскольку такое уравнение является следствием уравнения . Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

Поэтому в рассмотренном выше примере можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения, то есть уединить один радикал. Тогда в левой части уравнения останется один радикал, и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональное выражение.

Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы .

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители:

. Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение , так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: выражение не имеет смысла при .

Поэтому данное уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат:

Решим уравнение этой системы, получим корни и . Оба корня удовлетворяют неравенству исходной системы.

Ответ. , .

Таким образом, имеется два пути: или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.

Существует еще более опасное действие – сокращение на общий множитель.

Пример. Решим уравнение: .

Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на , получим: .

Совершать такое действие неправомерно, так как во-первых, подходящее решение исходного уравнения было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения . Таким образом, новое уравнение не имеет ничего общего с исходным.

Приведем правильное решение.

Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители .

Уравнение равносильно системе: которая имеет единственное решение .

Ответ. .