2.5. Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений

Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду. В таком случае говорят, что такая подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение. Метод решения, основанный на применении рационализирующих подстановок, называют методом рационализации.

Уравнения вида (здесь a, b, c, d – некоторые числа, m, n – натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: и , где и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Введем новые переменные. Пусть и , где . Тогда исходное уравнение принимает вид: .

Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем два неизвестных. Однако, величины y и z не являются независимыми переменными – они зависят одна от другой посредством исходной переменной x. Выразим x через y и z: и .

Умножим первое уравнение на два, вычтем из него второе уравнение, тогда переменная x исключена, и остается связь только между y и z:

В результате получим систему двух уравнений относительно двух неизвестных y и z:

Решим систему методом подстановки, получим уравнение: , корнями которого являются числа и .

Корень посторонний, поскольку .

Решим уравнение , получим .

Ответ. .

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Возведение обеих частей данного уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же предположить, что , , то исходное уравнение примет вид: .

Поскольку введены две новые неизвестные, необходимо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства , в четвертую степень и заметим, что .

Решим систему уравнений:

Система имеет два действительных решения: , ; , .

Решим две системы уравнений с одним неизвестным:

и

Решением первой системы является , второй .

Ответ. , .

Не всегда после введения новых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренных выше примерах. Однако, можно убедиться из следующего примера, что переход от уравнения к системе может быть полезен и в таком случае.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Введем новые переменные. Пусть и , где .

Тогда по стандартной схеме получим систему уравнений:

откуда следует, что .

Так как , то y и z должны удовлетворять системе:

Возведем оба уравнения этой системы в квадрат, после чего, сложив их, получаем уравнение .

Возведем равенства , в квадрат и заметим, что .

Получим систему уравнений:

решая её, получим уравнение .

Заметим, что это уравнение имеет корень .

Разделим многочлен на , получим разложение левой части уравнения на множители: .

Отсюда следует, что – единственное решение этого уравнения.

Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ. .

2.6. Умножение обеих частей уравнения на функцию

Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно легко, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Однако при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули данной функции. Поэтому данный метод требует обязательного исследования получившихся значений.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Умножим обе части уравнения на функцию . Выражение называют сопряженным для выражения . Цель такого умножения ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.

В результате умножения и очевидных преобразований получим уравнение:

, которое равносильно совокупности уравнений:

Уединив первый радикал второго уравнения совокупности, возведем его в квадрат, имеем:

Проанализировав неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств и пусто. Следовательно, уравнение решений не имеет.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень . Подстановка в его исходное уравнение показывает, что – корень уравнения.

Заметим, что при решении данного уравнения можно было обойтись и без подстановки: функция нигде в ноль не обращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения на эту функцию не приводит к появлению посторонних решений.

Ответ. .

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Умножим обе части уравнения на функцию . После преобразований получим уравнение: .

Оно имеет два корня: . Проверка показывает, что – посторонний корень. Заметим, что – корень функции .

Таким образом, уравнение имеет единственный корень .

Ответ. .