2.18. Модуль и иррациональные уравнения
Ситуация, связанная с необходимостью использования понятие модуля, возникает и при решении иррациональных уравнений.
Пример.
Решим уравнение:
Решение.
Введем новую переменную.
Пусть
,
где y
0,
тогда
Данное уравнение примет вид:
.
Последнее уравнение, равносильно
решая которое, методом интервалов,
получим:
Таким образом,
,
то есть
.
Последнему неравенству удовлетворяют
значения x, принадлежащие
отрезку
Ответ.
Напомним, что простейшие уравнения с
модулем имеют вид:
и
.
Решим уравнения на основании определения
модуля сведением к совокупности систем.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Чтобы выделить интервалы
знакопостоянства, найдем точки, в которых
выражения, записанные под модулем,
обращаются в нуль:
Уравнение равносильно совокупности
двух систем:
Решим каждую из систем.
Решение первой системы:
Полученная система не имеет корней, так
как дискриминант уравнения
меньше нуля.
Решим вторую систему:
Ответ.
.
Пример. Решим уравнение:
Решение. Чтобы выделить интервалы
знакопостоянства, найдем точки, в которых
выражения под модулем, обращаются в
нуль:
Уравнение равносильно совокупности
двух систем:
Решим первую систему:
Пересечение множеств
и
пусто. Следовательно, первая система
совокупности корней не имеет.
Решим вторую систему:
Ответ. .
2.19. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств
При решении некоторых заданий находят применение основные свойства модуля. Будем использовать следующие свойства модуля.
Свойства со знаком равенства
1.
2.
3.
4.
Свойства со знаком неравенства
5.
6.
7.
Условие равенства:
Условие равенства:
8.
Условие равенства:
Условие равенства:
Проиллюстрируем использование данных свойств, при решении задач.
Пример. Решим
уравнение
Решение.
Заметим, что
,
следовательно,
Следовательно, по свойству (7) уравнение
равносильно неравенству
решением которого является числовой
отрезок
.
Ответ. .
Пример.
Решим систему
уравнений
Решение.
Используем свойство:
Следовательно, xy0,
то есть x и y принимают значения
одного знака. Следовательно, исходная
система равносильна совокупности двух
систем:
Решением первой системы является любая
пара неотрицательных чисел, сумма
которых равна 1. Например,
.
Решением второй системы является пара
неположительных чисел, сумма которых
равна -1.
Например,
.
Решения данной системы наглядно представлены посредством графиков на рисунке 24.
Рис.24
Пример.
Решим систему
уравнений:
Решение.
Возводя каждое уравнение в квадрат,
получим систему уравнений
равносильную исходной системе.
Последняя система имеет место при
условии, что xy<0.
Тогда система примет вид:
Решим полученную систему:
или
или
Ответ.
.
Пример.
Найдем числа x и y такие,
что
Решение.
По свойству (5) уравнение равносильно
системе
.
Решая систему, получим:
Ответ.