2.14. Определение модуля числа и его применение при решении уравнений
Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины – модуля. Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово, имеющее множество значений, применяется не только в математике, но и в физике, архитектуре, технике, программировании и других точных науках.
Несмотря на кажущуюся простоту определения модуля числа, решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, вызывает определенные трудности. По-видимому, они связаны с тем, что решение задач подобного рода предполагает элементарные навыки исследования, логического мышления, заключающиеся в переборе различных возможных вариантов, так как в подавляющем большинстве задач одно уравнение или неравенство с модулем равносильно совокупности или системе нескольких уравнений и неравенств, освобожденных от знака модуля.
В этой главе мы систематизировали информацию о модуле и рассмотрели некоторые методы решения уравнений и неравенств с модулем.
Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на числовой оси.
Модуль числа
обозначают символом
.
Другими словами, геометрически
означает расстояние на числовой оси от
начала отсчета до точки, изображающей
число
.
Если
,
то на числовой оси существует две точки
и
,
равноудаленной от нуля, модули которых
равны.
Если
,
то на числовой оси
изображают точкой
.
Пример. Решим уравнение:
Решение. Согласно геометрической
интерпретации модуля, уравнение описывает
множество точек, удаленных от начала
отсчета на расстояние 3. Это точки
Ответ. –3; 3.
Пример. Решим уравнение:
Решение. Согласно геометрической интерпретации модуля, расстояние не может быть отрицательно. Следовательно, данное уравнение решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Термин «модуль» ввел английский математик Р. Котес (1682 – 1716), знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841 г.
Иногда вместо термина «модуль» используют термин «абсолютная величина» или «абсолютное значение» числа.
Дадим алгебраическое определение модуля.
Определение. Модуль числа или абсолютная величина числа равна , если больше или равно нулю и равна , если меньше нуля:
Пример. В соответствии с приведенным
определением
,
,
Из определения модуля следует,
что для любого действительного числа
,
.
Пример. Решим уравнение:
Решение. Согласно алгебраическому
определению модуля, имеем:
.
Ответ. –3; 3.
Пример. Решим уравнение:
Решение. Согласно алгебраическому определению модуля, имеем: . Следовательно, данное уравнение решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Теорема 6.
Абсолютная величина
действительного числа
равна большему из двух чисел
или
.
Доказательство. Если
число
положительно, то число
отрицательно, то есть
.
Отсюда, в силу транзитивности отношения
«меньше», следует, что
.
В этом случае
,
то есть
совпадает с большим из двух чисел
и
.
Если число
отрицательно, тогда число
положительно и
,
то есть большим числом является
.
По определению, в этом случае,
− снова, равно большему из двух чисел
и
.
Теорема доказана.
Следствие.
Для любого действительного
числа справедливо:
.
Доказательство. В
самом деле, как
,
так и
равны большему из чисел
и
,
а следовательно,, равны между собой.
Следствие.
Для любого действительного
числа
справедливы неравенства
,
.
Доказательство. Умножим
второе равенство
на
,
изменив при этом знак
неравенства на противоположный, получим
следующие неравенства:
,
справедливые для любого действительного
числа
.
Объединяя последние два неравенства в
одно, получим:
.
Модуль числа может быть определен и как наибольшее из чисел a и –a.
Теорема 7.
Абсолютная величина
любого действительного числа
равна арифметическому квадратному
корню из
,
то есть
.
Доказательство. В
самом деле, если
,
то, по определению модуля числа, имеем:
.
С другой стороны, при
,
,
следовательно,
.
Если
,
тогда
и
и в этом случае
.
Теорема доказана.
Теорема 7 дает возможность
при решении некоторых задач заменять
на
.
Для любых действительных чисел справедливы следующие свойства:
.
;
;
;
;
