24. Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания. (без вовторений)
Выборкой элементов из множества M называется некоторый набор, составленный из элементов данного множества. Если в этом наборе какой-либо элемент встречается больше, чем 1 раз, то говорят о выборке с повторениями; если же в наборе каждый элемент появляется лишь один раз, то говорят о выборке без повторений. Существует несколько видов выборок.
Размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:
Перестановки. Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по m элементов (n=m). Так как каждая перестановка содержит все элементы множества, то различные перестановки отличаются дуг от друга только порядком следования элементов.
Число перестановок без повторений (n различных элементов) вычисляется по формуле:
|
Сочетания. Сочетанием из n элементов по k называется k-элементное подмножество n-элементного множества.
Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по k) вычисляется по формуле:
Справедливы
равенства: 
, 
, 
.
25. Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.( с повторения)
Выборкой элементов из множества M называется некоторый набор, составленный из элементов данного множества. Если в этом наборе какой-либо элемент встречается больше, чем 1 раз, то говорят о выборке с повторениями; если же в наборе каждый элемент появляется лишь один раз, то говорят о выборке без повторений. Существует несколько видов выборок.
Перестановки с повторениями:
Пусть
даны 
элементов
первого типа, 
—
второго типа, ..., 
— 
-го
типа, всего 
элементов.
Способы разместить их по
различным
местам называются перестановками с
повторениями. Их количество обозначается 
.
Теорема: число перестановок с повторениями есть
.
Размещения с повторениями:
Пусть
даны
различных
видов предметов, которые можно разместить
по
различным
местам, причем выбирать предметы можно
с повторениями (т.е. можно выбрать
несколько предметов одного вида). Такие
выборки называются размещениями с
повторениями, а их количество вычисляется
по формуле: 
.
Сочетания с повторениями:
Пусть
имеются предметы
различных
видов предметов, и из них составляются
наборы, содержащие
элементов.
Такие выборки называются сочетаниями
с повторением. Их число обозначается 
.
Теорема: число сочетаний с повторениями может быть вычислено по формулам:
.
26.Предмет и задачи теории вероятности. Области применения методов теории вероятностей
Вероятностные закономерности впервые были обнаружены в азартных играх, таких как карты и кости, когда начали применять в них количественные подсчеты и прогнозирование шансов на успех. Другим толчком для развития теории вероятностей послужило страховое дело. Именно с конца 17 века на научной основе стало производиться страхование от несчастных случаев и стихийных бедствий. Следующий этап развития связан с именем Бернулли. Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону. Первые работы в которых зародилась ТВ представляли собой попытки создания теории азартных игр (Паскаль и Ферман). Колмогоров, Чебышев- русские мат.вложили в ТВ большой вклад. Теория вероятностей, возникнув в XVII в. на основе анализа азартных игр и став в настоящее время одной из важнейших для деятельности человека теорией (в технике, коммерции, страховом деле, военном деле и т.д.), долгое время считалась второсортной наукой – своеобразным математическим развлечением, не заслуживающим серьезного внимания (исключая теорию артиллерийской стрельбы и теорию ошибок в начале XIX в.). Лишь после Первой мировой войны игнорирование науки о массовых явлениях стало невозможным. Благодаря разработке аппарата математической статистики теория вероятностей получает много новых приложений (механика, электротехника, статистическая физика и др.). Примеры случайных явлений: бросание монеты, бросание игральной кости, лотерея, азартные игры, стрельба по мишени и т.д. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий количественные закономерности массовых случайных явлений. Задача теории вероятностей – количественная оценка случайных явлений и прогнозирование их течения. Некоторые области применения методов теории вероятностей: 1. Eестественные науки, техника: - математическая обработка результатов измерений (теория ошибок); - прогнозирование (погоды, надежности приборов и т.д.) - описание поведения большого количества частиц (статистическая физика) 2. Экономика (экономическая статистика), страховое дело и.т.д. 3. Статистика народонаселения;4. Массовое производство (статистический контроль качества изделий); 5. Массовое обслуживание (теория массового обслуживания или теория очередей) 6. Военное дело (теория стрельбы) и т.д.