29. Теорема сложения несовместных событий.

 Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно,

Р (A + В) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.

Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A1 + A2 + ... + An) = Р (A1) + Р (A2) + ... + Р (An).

30. Полная группа событий. Противоположные события.

Теорема. Сумма вероятностей событий А1 , А2 , ..., Аn , образующих полную группу, равна единице: Р (A1) + Р (А2) + ... + Р (Аn) = 1. Противоположные события. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать Ā Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему о полной группе событий). З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q = l З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

31.Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Р(А и В)=Р(АВ)=Р(А)хР(В)

Произведением события А и В будет событие С=АВ состоящие из например попадания в мешен двух стрелков.

Произведение несовместных событий невозможно.

32. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.  Условная вероятность- вероятность появления события А при условии что произошло событие В. Вероятность произведений событий обычно вычисляется по формуле

Р(А и В)=Р(А)х Р­А(В­) =Р (В)х Р ­В(А)

Для зависимых событий

Р(АиВ)=Р(А)х Р­А(В­)=Р(В)х Р ­В(А)

33. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема совместных событий- значит попадание хотя бы одного из испытыемых(может больше) рассчитывается по формуле

Р(А или В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

34. Формула полной вероятности.( формула Байеса)

События H1, H2, …, Hn образуют полную группу событий, если они попарно несовместимы и вместе образуют достоверное событие.

Теорема. Если события H1, H2, …, Hn образуют полную группу, а событие A происходит в результате появления одного и только одного из событий Hi, то используется формула:

Р(А)= (Н­I­)Р­(A/Hi) (Н­I­)=1

H­I= ­Это выбор i (урны к примеру)

Теорема Байеса.

Определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях

Т. Пусть рассматриваются Н1,Н2…Нn – гипотезы образующие полную группу и событие А которое может наступить если произойдет одно из событий Hi тогда условные вероятности гипотез можно вычислить по формуле P(A/B)= P(B/A)P(A)/P(B)