37. Биномиальный закон распределения
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний илисхемой Бернулли.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появится. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность не появления q=1-p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.
Вероятность возможного значения X=k (числа k появлений события =0,1,2,….n) вычисляют по формуле Бернулли:
(*)
Эта формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
Таким образом, первый член разложения pn определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых раз испытаниях; второй член npn-1 q определяет вероятность наступления события n-1; последний член qn определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.
Биномиальный закон распределения:
38. Распределение Пуассона.
Закон Пуассона распределения дискретной случайной величины: Для случая малых значений р (р≤0,1) и большом значении n применяется закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий. При этом вероятность того, что случайная величина X примет значение равное k, вычисляется по формуле:
,
где λ=n*p
где λ — некоторая
положительная величина, называемая
параметром закона Пуассона.
Последовательность вероятностей, задаваемая формулой, представляет собой ряд распределения, т. е. сумма всех вероятностей Рk равна единице и имеет вид:
-
Xk
0
1
2
…
k
…
Pk
e- λ
…
…
Закон распределения Пуассона зависит от одного параметра λ, который одновременно является и математическим ожиданием, и дисперсией случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Таким образом, для распределения Пуассона имеют место следующие основные числовые характеристики:
Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий. k-число наступления событий в n независимых испытаний.
λ=np (среднее число появлений события в n испытаниях)
39. Непрерывная случайная величина: аналитические законы распределения и их числовые характеристики
Вероятность Р(Х < х) того, что случайная величина Х окажется меньше некоторого вещественного числа х, называется функцией распределения Х, обозначается F(x) и определяется следующим обра- зом: F(x) = P(X < x). Введение функции распределения F(x) оправдано тем, что она одинаково хорошо описывает как непрерывную, так и дискретную случайную величину. Свойства функции распределения: 1) 0 ≤ F(x) ≤ 1; 2) F(x1) ≤ F(x2), если х1 < x2 (F(x) – неубывающая функция); 3) F(–∞) = 0; 4) F(+∞) = 1; 5) P(α < X < β) = F(β) – F(α). Часто F(x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Случайная величина- это переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая .
Непрерывную случайную величину А следует задавать не указанием вероятностей ее отделных значений, а неприрывной функцией, называемой плотностью распределения вероятностей случайной величины А. непрерывная величина- величина постоянная. Для нее плотность распределения - максимум
Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно. Для непрерывной случайной величины: ∫ +∞ ∞− x ⋅= )( dxxfxm ; ( ) ∫ +∞ ∞− x −= x )( dxxfmxD 2 . (1.7) Формулу (1.7) можно преобразовать к более удобному для вычис- лений виду: ∫ +∞ ∞− = − 2 2 )( x mdxxf x D х ; σ = Dxx .