4.Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Будем считать нижний предел определенного интеграла постоянным, а верхний переменным.

ф(x)= .

Теорема 1. Если f(x) непрерывная функция и ф(x)= , то имеет место равенство ф’(x)=f(x). Интеграл с переменной верхнего предела является первообразной для под интегрированной функции.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке ab и f(x) одна из ее первообразных, то F’(x)=f(x).

①

Формула ①- формула Ньютона-Лейбница.

5.Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.

Интегрирование по частям:

Если функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], то имеет место формула:

.

Замена переменной в определённом интеграле:

, сделаем замену переменной:

и – непрерывны на [a,b].

- неопределенна на [ ].

.

.

6.Приложения определённого интеграла. Вычисление площади плоской фигуры и длины дуги кривой, объёма тела вращения, площади поверхности вращения, статистических моментов и координат центра тяжести пластинки.

Приложение определённого интеграла.

-Площадь фигуры.

Вычисление площади плоской фигуры и длины дуги кривой.

, где - это дифференциал дуги линии.

Вычисление объёма тела вращения.

Пусть криволинейная трапеция y=f(x), a≤x≤b, вращается вокруг оси Ох, эта трапеция опишет тело, которое называется телом вращения.

;

Вычисление площади поверхности вращения.

Площадь поверхности образован. Вращением вокруг оси Ох, дуги кривой в уравнении y=f(x), где а≤х≤в, вычисляется по формуле :

или , Аналогично вычисляется площадь поверхности вращения вокруг оси Оу, с≤у≤d.

Вычисление статистических моментов и координат центра тяжести пластинки.

Статистическим моменто материальной точки(М) относительно Ох, называется произведение массы этой точки на её расстояние до оси.

Sx=m*y; Sy=m*x.

Статистическим моментом системы материальных точек относительно Ох: называется сумма произведений масс этих точек на расстоянии до оси.

;

Статистический момент плоской пластинки относительно Ох равен:

, где ɣ-поверхностная плотность(пластинка однородная).Аналогично: статистический момент плоск пласт относительно Оу: .

Вычисление координаты центра тяжести пластинки.

Будем считать, что пластинка однородная(ɣ=const), тогда коорд. Центра тяжести этой пластинки вычисляют:

; .

7. Понятие числового ряда. Сумма ряда. Частичная сумма ряда. Гармонический ряд.

Числовой ряд.

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Пусть задана бесконечная последовательность чисел:

U1+U2+U3…..+Un = - Числовой ряд. (1)-Ряд.

Частичная сумма ряда: суммы n первых членов ряда:

S1=U1;S2=U1+U2;S3=U+U2+U3;Sn=U1+U2+U3+…Un, называется частичными суммами ряда.

Сумма ряда.

Если существует конечный предел , последовательность частичных сумм , то ряд (1) называется сходящимся, а число S- суммой ряда, если lim Sn- не существует или равен бесконечности, то ряд (1) расходящийся.

Гармонический ряд.

.