19.Частные производные I и II порядка функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Рассмотрим функцию двух переменных  .Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например  , положив  . Тогда функция   есть функция одной переменной  . Пусть она имеет производную в точке  :

.

Данная производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции   по   в точке   и обозначается одним из следующих символов:  ;  ;  ;  .

Разность   называется частным приращением по   функции   в точке   и обозначается символом  :

.

Учитывая приведенные обозначения, можно записать

.

Аналогично определяются и обозначаются частное приращение функции   по   и частная производная по   в точке  :

,

.

Значение частной производной зависит от точки  , в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных  , вообще говоря, есть функция точки  , т.е. также является функцией двух переменных   и  .

Все правила и формулы дифференцирования, выведенные для производных функций одной переменной, сохраняются для частных производных функции двух переменных.

Однако следует помнить, что при нахождении частной производной по какому-либо аргументу второй аргумент считается постоянным.

Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.

Например, функция   имеет четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

;  ;

;  .

При этом частные производные   и   называются смешанными частными производными.

Обратите внимание на то, что  . Данный результат не случаен, так как имеет место следующая теорема.

Теорема 7.1. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

Пусть поверхность задана в неявном виде: F(x,y,z)=0 и пусть точка M0(x0,y0,z0) принадлежит данной поверхности. Тогда уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке M0 таково:

F′x(M0)⋅(x−x0)+F′y(M0)⋅(y−y0)+F′z(M0)⋅(z−z0)=0(1)

Уравнение нормали имеет вид: x−x0F′x(M0)=y−y0F′y(M0)=z−z0F′z(M0)(2)

Если же уравнение поверхности задано в явном виде z=f(x,y), то уравнение касательной плоскости имеет вид:f′x(x0,y0)⋅(x−x0)+f′y(x0,y0)⋅(y−y0)−(z−z0)=0(3)

Уравнение нормали в случае явного задания поверхности таково: x−x0f′x(x0,y0)=y−y0f′y(x0,y0)=z−z0−1(4)

4…Определение: Плоскость, в которой распложены все касательные к линиям на поверхности, проходящим через точку касания M₀, называется касательной плоскостью к поверхности в точке M₀.

Определение: Нормалью к поверхности называется прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Так как нормаль перпендикулярна касательной плоскости, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор нормали к касательной плоскости (координаты вектора нормали - это частные производные.)

Тогда уравнение нормали имеет вид:  ;

То есть если уравнение поверхности задано в виде z=f(x,y), точка M₀(x₀,y₀) и f(x₀,y₀) принадлежат поверхности, точка M₀ – точка касания, тогда уравнение касательной плоскости имеет вид:  .

А в случае поверхности, заданной уравнением вида F(x,y,z)=0, уравнение касательной плоскости имеет вид:  , где

точка M₀(x₀,y₀,z₀) – точка касания.

Каноническое уравнение прямой в пространстве