24.Операторы Гамильтона и Лапласа. Простейшие векторные поля: потенциальные, соленоидальное, гармоническое.

(оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом   (набла)

Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами   в  -мерном пространстве.

Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом

Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор   на скаляр  , то получится вектор

, который представляет собой градиент функции  .

Если вектор   скалярно умножить на вектор  , получится скаляр

, то есть дивергенция вектора  .

Если   умножить на   векторно, то получится ротор вектора  .

Также, произведение   есть оператор Лапласа, и обозначается  . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

К простейшим векторным полям относятся: соленоидальное, потенциальное и гармоническое.

     Определение 1: Векторное поле  называется соленоидальным или трубчатым, если во всех точках поля   Соленоидальное поле не имеет ни источников, ни стоков, его векторные линии замкнуты. Поскольку  div\vec{B}=0, то поле вектора магнитной индукции является соленоидальным.

     Определение 2: Векторное поле  называется потенциальным или безвихревым, если во всех точках поля        Для потенциального векторного поля всегда найдется такая скалярная функция  u(M) (потенциал векторного поля ), что  . Потенциал векторного поля  можно найти по формуле

где   – произвольная точка поля, в которой функции P, Q, R определены, С – произвольная постоянная.

   Определение 3: Векторное поле называется гармоническим, если во всех точках поля  и                     и  т.е. поле является соленоидальным и потенциальным.

25.Задача об объёме цилиндрического тела. Определение и вычисление двойного интеграла. Основные свойства.

 Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью   снизу - замкнутой областью D плоскости Оху, с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 5). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z=ƒ(х;у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Di, площади которых равны   Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z=ƒ(х;у) (на рис. 5 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием D_i через ∆V_i, получим 

Возьмем на каждой площадке D_i произвольную точку M_i(x_i;,y_i) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием D; и высотой z_i=ƒ(х_i;у_i).

Объем этого цилиндра приближенно равен объему ΔV_i цилиндрического

столбика, т. е.   . Тогда получаем: 

Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» D_i. Естественно принять предел суммы (7.3) при условии, что число площадок D_i неограниченно увеличивается (n -> ∞), а каждая площадка стягивается в точку (maxd_i-> 0), за объем V цилиндрического тела, т. е.

или, согласно равенству (7.2),

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Определение:

Двойным интегралом от функции   по ограниченной замкнутой области   называется предел интегральной суммы, построенной для функции   при неограниченном увеличении числа разбиений области   на ячейки ( ) и при стягивание каждой ячейки в точку( ), если такой предел существует и не зависит от способа разбиения области   на ячейки, ни от выбора   в каждой из них.

Теорема существования:

Для всякой непрерывной функции   в ограниченной замкнутой области   существует двойной интеграл: 

Свойства двойного интеграла:

3) Если область   разбить линией на две области   и   такие, что  , а пересечение   и   состоит лишь из линии, их разделяющей, то :

4) Если в области   имеет место неравенство  , то и  . Если в области   функции   и   удовлетворяют неравенству, то и 

6) Если функция   непрерывна в замкнутой области  , площадь которой  , то  , где   – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области  .

7) Если функция непрерывна в замкнутой области  , площадь которой  , то в этой области существует такая точка  , что  . Величину   называют средним значением функции  в области 

Вычисление двойного интеграла: Интеграл функции  , вычисляемый по двумерной области  . Область разбивается на малые части. Эти малые части характеризуются их площадями   и длинами   наибольшего отрезка, который можно провести внутри частичной области. Этот отрезок называется диаметром частичной области. В каждой частичной области выбирается точка  , и составляется интегральная сумма  . Затем осуществляется переход к пределу разбиения области   на бесконечно малые частичные области, а именно требуют, чтобы длина самого большого диаметра частичной области стремилась к нулю. Величина предела и является интегралом