14.Основные свойства степенных рядов: теоремы о непрерывности суммы степенного ряда, почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.
1) Сумма степенного ряда есть функция непрерывности в интервале сходимости ряда:
2) Степенной ряд можно почлено интегрировать в интервале сходимости ряда:
3) Степенной ряд можно почлено дифференцировать на интервале сходимости:
15.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
Представление функции в виде
(6.1)
называется ее разложением в степенной ряд.
Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:
функция f имеет на интервале (x0 – R , x0 + R) производные всех порядков, которые можно найти почленным дифференцированием ряда (6.1):
(6.2) 
(6.3)ряды (6.1), (6.2) и (6.3) имеют одинаковые радиусы сходимости.
Доказательство всех трех утверждений следует из общих свойств степенных рядов (теоремы 5.2 и 5.3).
Теорема 6.2. Если функция f
раскладывается в некоторой окрестности
точки х0 в сте-пенной ряд (6.1), то 
,
и, следовательно, справедлива формула
(6.4)
Доказательство.
Дифференцируя т раз равенство (6.1), получим:
Примем х = х0 , тогда f(m)(x0) = m!am , что доказывает формулу (6.4).
Следствие. Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно.
Действительно, из теоремы 6.2 следует, что коэффициенты степенного ряда могут иметь только вид, задаваемый формулой (6.4).
Определение 6.2. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд
называется рядом Тейлора.
Пример. Найдем разложение в ряд Тейлора при х0 = 0 функции f(x) = 2x.
.
Следовательно,
.
Определение 6.3. Если при разложении в
ряд Тейлора принимается х0 = 0, то полученный
ряд 
(6.5)
называется рядом Маклорена (см. предыдущий пример).
Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций.
В лекции 21 (1-й семестр) рассматривалось представление функции в виде многочлена Тейлора с остаточным членом. Поскольку коэффициенты ряда Тейлора и многочлена Тейлора вычисляются по одной и той же формуле, мы можем воспользоваться прове-денными в лекции 21 вычислениями для получения разложения в ряд Тейлора некото-рых элементарных функций. При этом обратим особое внимание на определение обла-сти сходимости полученных рядов.
1. 
.
Сходимость полученного ряда исследовалась
в примере 2 лекции 5, где показано, что
он абсолютно сходится при любом х.
2. 
.
3. 
.
Используя формулу Даламбера для определения радиуса сходимости, найдем, что он равен бесконечности, то есть функции y = sin x и y = cos x раскладываются в ряд Тей-лора на всем множестве действительных чисел.
4. 
.
Запишем остаточный член этой формулы
в форме Лагранжа:
,
и исследуем его поведение при 
для
| x| < 1,
| x | > 1 и | x | = 1. При | x| < 1 
,
при | x | > 1 
.
Поэтому по теоре-ме 1.5 при | x| < 1 ряд
сходится, а при | x | > 1 расходится. При
х = -1 ряд расходится, так как представляет
собой гармонический ряд, все члены
которого имеют знак «-», а при х = 1 получаем
знакопеременный ряд, сходящийся условно
по признаку Лейбница. Следовательно,
областью сходимости полученного ряда
является интервал (-1, 1].
5. 
.
Найдем радиус его сходимости по формуле
Даламбера: 
Следовательно,
интервал сходимости – (-1, 1).
16.Разложение основных элементарных функций в степенной ряд: y=ex, y=sinx, y=cosx, y=(1+x)m.
Основные (табличные) разложения. Выпишем их:
Утверждение
. При
разложении функции в ряд Тейлора
используются основные (табличные)
разложения и действия над рядами. Радиус
сходимости ряда может быть получен по
виду раскладываемой функции без
использования формулы общего члена
ряда и формул для нахождения радиуса.
Радиус сходимости ряда, полученного
при разложении данной функции в
окрестности точки 
,
равен расстоянию от центра разложения
— точки
до
ближайшей особой точки функции. Если
функция является аналитической всюду,
то 
.