8.Несобственные интегралы I и II рода.
Несобственный интеграл 1-го рода:
Пусть функция f(x) непрерывна [а; ∞).
Определение 1. Несобственные интегралы от функции f(x) в [a;+∞) называется
– несобственный
интеграл, то есть
.
Геометрический смысл несобственного интеграла состоит в том, что , выражает площадь неограниченной (бесконечной), заключённой между линиями y=f(x), где х-является Осью абсцисс.
Аналогично определение несобственного Интеграла и для других бесконечных интегралов:
А)
;
Б)
.
Несобственные интегралы 2-го ряда:
Определение 2. Несобственные интегралы от ф-ции f(x) непрерывны в [a;в) и неограниченной при х-> в-0(левосторонний предел),называется
Если указанный предел существует и конечен, то интеграл несобственный, называется сходящимся, в обратном случае - расходящимся.
.
Если f(x) непрерывна (а;в),[a;c),(c;b].
.
9.Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточный признак расходимости числового ряда.
Необходимое условие сходимости числового ряда:
Если ряд сходится, то общий член стремится к нулю, при неограниченном возраст. Его номера:
,
Следствие из теоремы: достаточный признак расходимости ряда.
Достаточный признак расходимости числового ряда:
Если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится.
10.Достаточные признаки сходимости числовых рядов (Даламбера, радикальный и интегральный признак Коши).
Признак Даламбера:
Пусть дан ряд с положительными членами:
, если lim
послед. Члена ряда к предыдущему , при
К∞,
равен числу, то
,при
q<1-
ряд сходится, При q>
1-Ряд расходится, При q=1-
не известно.
Радикальный признак Коши: Если для ряда с положительными членами существует предел:
=q,
q<1-сход-ся,
q>1-
расходится, q=0-
не известно, т.е. плохо выбран признак.
Интегральный признак Коши: пусть члены ряда положительные и не возрастают:
U1≥U2≥U3≥…≥Un и пусть f(x) такая не прерывная не возрастающая ф-ция, что f(1)=U1; f(2)=U2;f(n)=Un, ряд сходится, если несобственный интеграл тоже сходится.
,
то сх-ся и ряд расх-ся.
11.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
①.
Ряд называется знакопеременным, если его члены имеют разные знаки.
Теорема: Если ряд составлен из абсолютных величин данного ряда ①, то сходим данный ряд.
Знакопеременный ряд
②.
Ряд ② называется абсолютно сходящимся, если сходим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда. Если знакопеременный ряд ② сходится, а ряд ③ расходится, то ряд ② сходится не абсолютно или условно.
Замечания: Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящим при любой перестановки его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.
12.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Ряд ①.
>0,
n=1.
Признак Лейбница:
Если в
знакочередующимся ряде ①,
и
,
то ряд ① сходится, его сумма положительна
и не превосходит первого члена ряда.
- ряд сходится.
- ряд расходится.
13.Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля о сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
①
Ряд вида ① называется функциональным, если его члены являются функцией x.
Ряд вида ① может для
одних значений x- сходится,
а для других x- расходится.
Значение x=x0
при котором
при котором функциональный ряд сходим,
называется точкой схождения ряда.
Совокупность всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида ②.
②
, где
,
…
-
коэффициент степенного ряда, если
то
③
Теорема Абеля:
Если степенной ряд сходим при x=x0
(x0≠0), то он
абсолютно сходится для любых x,
где
.
Следствия из теоремы: Если степенной ряд расходится при x=x0, то он расходится и при всяком x, где .
Из теоремы Абеля
вытекает, что для каждого степенного
ряда имеющего точки сходимости и
расходимости существует такое
положительное число R,
что при
<R
ряд сходится абсолютно, а при
>R
ряд расходится.
Радиусом сходимости степенного ряда ② называется такое число n, что <R ряд сходится, а для >R ряд расходится.
а) Если ряд расходится при всех x кроме нуля, то будем считать, что R=0.
б) Если ряд сходится
при любых x, то R=
1)
2)
Формула радиуса
сходимости:
Формула радиуса
расходимости:
