20. Дифференцирование сложной функции. Частные производные высших порядков.

Пусть функция ,причем в свою очередь , ,тогда Z-сложная ф-ция от аргументов (x,y),переменные -промежуточные аргументы. Предположим, что функцию , -имеют непрерывные частные производные по всем аргументам.

I cслучай:

II случай:

Частные производные высших порядков.

Пусть функция имеет непрерывные частные производные и в точке М(x,y)єД(f) будем называть частные производные I порядка, тогда частные производные по(x,y)от первых производных, если они существуют называются частными производными IIпорядка от функции в т.М(x,y) и обозначается

Частные производные, взятые по различным переменным называются-смешанными. Теорема. Если функция и ее производные , , определены и непрерывны в точке М и некоторых её окрестностях, то

21. Экстремум функции двух переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

Определение: Ф-ция имеет в точке максимум,если сущ.такая окрестность этой точки в которой имеет место нереавенство,если М(x,y)єД; F( , )>F(x,y)

Ф-ция -минимум,то F( , )< F(x,y) Точка максиму и минимума наз. точками экстемума ф-ции.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

Пусть ф-ция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Д,тогда она достигает в этой области своего наибольшего значения М и наименьшегозначения . Эти значения достигаются ф-цией в точках расположенных внутри обл. Д или в точкахлежащих на границе области.

Правило Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

1. Найти критические точки ф-ции є Д и вычислить значение ф-циив них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значение ф-ции F(x,y)на границах области

3. Сравнить все найденые значения ф-ции и выбрать из них наибольшие т. И наименьшее т.

22.Скалярное поле. Определение. Производная по заданному направлению. Градиент скалярного поля.

поле наз.скалярным,если рассматриваемая величина скалярна,т.е она характеризуется своими числовыми значениями.

Определение.Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некот. величины,то говорят,что заданнополе данной величины.

Производная по заданному направлению.

Производная по направлению вычисляется по формуле ,где , , -косинусы углов образованные L с осямикоординат.

Производная по направлению принимает свое максимальное значение,если её направлять по градиенту.

Пусть задоно скалярное поле

Определение.Градиентом скалярного поля в данной т. наз.вектор обозначаемый символом gradU и определяемый равенством

gradU=

23.Векторное поле. Определение. Циркуляции векторного поля. Ротор векторного поля, дивергенция.

Определение.Если в каждой т.Р области Д задан опр. Вектор,то будем говорить ,что в области Д задано векторное поле .

Циркуляцией векторного поля A(P) вдоль замкнутого контура L на линейный интеграл A(P) вдоль замкнутой кривой L и обозначается Ц.

Ц=

Ротор векторного поля

Ротор(Вихрь) векторного поля А(Р) в т.Р наз. вектор обозначаемый символом rot A(p) проекция которого на любое направление вектора нормаль из т.Рравна плотности циркуляции поля т.Р в этом направлении

Дивергенция.

Дивергенция векторного поля

Div A(P)=