43. Вынужденные колебания без сопротивления. Резонанс

Рассмотрим случай, когда   , т.е. точка движется в среде без сопротивления.

 - дифференциальное уравнение    вынужденных колебаний.

Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения находится как сумма  общего решения   однородного уравнения (собственные колебания точки) и  частного решения    неоднородного уравнения (вынужденные колебания точки).

 Тогда  .

При   вынужденные колебания определяются равенством:  .

Возникает явление резонанса, которое  характеризуется возрастанием амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний.

 С течением времени собственные колебания затухают, и движение материальной точки подчиняется не зависящему от начальных условий закону вынужденных колебаний. Влияние сопротивления среды и частоты возмущающей силы качественным образом сказывается на изменении амплитуды и частоты вынужденных колебаний.

44. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

    Уравнение второго основного закона динамики для абсолютного движения точки массойm имеет вид

где a – абсолютное ускорение точки;

     F_i – силы, действующие на точку, включая реакции связей.

    Абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма трех ускорений: переносного a_пер , относительного a_отн  и кориолисова a_кор ,  т.е. 

    Подставляя это выражение в (7.1), получим

или 

    Введем в рассмотрение два вектора

и назовем их переносной и кориолисовой силами инерции.

    

Подставим эти векторы в уравнение (7.2):

    Уравнение (7.3) представляет собой основное уравнение динамики  относительного движения материальной точки. 

    В случае равномерного и поступательного переносного движения Ф_пер= 0  ,  Ф_кор= 0 и уравнение (7.3) ничем не отличается от уравнения (7.1). Во всех инерциальных системах отсчета уравнение движения точки записывается одинаково. В этом заключается принцип относительности классической механики.

    Проецируя уравнение (7.3) на оси подвижной декартовой системы координат, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки

    Дифференциальные уравнения относительного движения отличаются от дифференциальных уравнений абсолютного движения наличием в правой части уравнений проекций на соответствующие оси переносной и кориолисовой сил инерции.

    Рассмотрим частные случаи относительного движения материальной точки:

    1) если подвижная система отсчета движется поступательно, то Ф_кор= 0 , так как ω_пер= 0, и уравнение относительного движения примет вид 

                            ma_отн = ΣF_i + Ф_пер   ;             (7.5)

    2) если точка по отношению к подвижным осям находится в покое, то для нее a_отн= 0 , V_отн= 0   и, следовательно, Ф_кор= 0 . Тогда уравнение (7.3) примет вид

                          ΣF_i + Ф_пер = 0.                (7.6)

Уравнение (7.6) представляет собой уравнение относительного покоя точки.