40. Решение второй задачи динамики точки.

1) примем тело за мат.(.) изобразим его в произвольном положении.

2) введём ортогональную систему координат, совмещая начало отсчёта положения(.) и направляя одну из осей по вектору её скорости

3) запишем нач. условия движения

4) изобразим на рисунке все действ. на (.) активные силы и реакции отброшенных связей

5) сост. диф. ур-ния движ(.) в проекциях на коорд. оси. При этом необходимо перемен. силы выразить через те величины, от которых они зависят.

6) методами высшей математики проинтегрируем диф.ур-ния и найдём V и ур-ние движ(.)

7) но нач.условия движ(.) определим знач. постоянных интегрирования.

41. Свободные прямолинейные колебания материальной точки

Материальная точка М массой m движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы F, направленной к центру колебания О.

F = -cx,

где c - постоянный коэффициент пропорциональности.

Дифференциальное уравнение колеблющейся материальной точки

m  = -cx

Разделим левую и правую часть на m и введем обозначение c/m = k² и  перенесем в левую часть.

= 0

Получили линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения имеет вид

x = C₁coskt + C₂sinkt

Уравнение гармонических колебаний материальной точки, где C₁  и C₂ -  прозвольные постоянные, определяемые по начальным условиям движения            t = 0, x = x₀ , V = V₀;

V = dx/dt = -C₁ ksinkt + C₂ kcoskt

x₀ = C₁, V₀ = C₂ k    C₁ = x₀ , C₂ = V₀ /k,  подставим в (1.98), получим

искомый закон движения точки М.

Для анализа свободных колебаний дифференциальное уравнение (1.98) лучше представить в амплитудной форме, где C₁=A sinα, C₂=A cosα

 

x = A sin(kt +α),

 

следовательно, в случае прямолинейного движения под действием притягивающей силы, пропорциональной расстоянию от центра притяжения, материальная точка совершает гармонические колебания.

Величина наибольшего отклонения точки М от центра О, называется  амплитудой – A колебания; аргумент (kt + α) называется фазой колебания; α – начальная фаза колебания, k – круговая частота колебаний. График гармоничес-ких колебаний - синусоида.

Скорость точки определяется по формуле:

 

V = dx/dt = Аkcos(kt + α)

 

Амплитуда A и начальная фаза α  определяются по начальным условиям  движения. Пусть при t = 0, абсцисса точки М = x₀, а скорость V₀.

      x₀ = Аsinα ,  V₀ =Аkcosα ,  получаем

 

А =      и   tgα =

 

Найдем полный период колебаний -T, т.е. тот промежуток времени, по истечении которого точка возвращается в данное положение с той же самой скоростью.

T = 2π /k   или   T = 2π

 

Частота и период свободных колебаний точки зависят лишь от массы этой точки и от коэффициента -с, характеризующего восстанавливающую силу, и не зависят от начальных условий движения, k = 2 π /T - круговая частота колебаний определяет число полных колебаний, которые совершает точка в течение 2π секунд.

42. Затухающее колебание материальной точки

При затухающих колебаниях кроме восстанавливающей силы учитывается сила сопротивления.

, где μ – коэффициент сопротивления

Дифференциальное уравнение:

(4) - дифференциальное уравнение затухающего колебания.

Запишем характеристическое уравнение:

Корни: .

Возможны 3 случая:

1) 1-ый случай, когда n<k (малое сопротивление)

Это колебательное периодическое движение,

где k1 – круговая частота затухающих колебаний,

a - амплитуда, α - начальная фаза.

Постоянные с1 ,с2 или α и a определяются из начальных условий.

Т1 – период затухающих колебаний

В случае малого сопротивления получаем затухающее колебание точки с периодом T1:

.

Максимальное отклонение точки от равновесного положения через период или через половину периода подчиняется закону геометрической прогрессии, знаменатель которой равен или . Этот знаменатель геометрической прогрессии называется декрементом затухающих колебаний и показывает, во сколько раз отличаются амплитуды колебаний, взятые через период или через половину периода.

Логарифмический декремент затухания: или .

2) 2-ой случай, когда n>k (большое сопротивление)

Постоянные с1 и с2 определяются из начальных условий.

В этом случае движение апериодическое.

1 – толчок вперед;

2 – слабый толчок назад;

3 – сильный толчок назад.

3) 3-ий случай, когда n=k (предельный случай)

Движение апериодическое.

Постоянные с1 и с2 определяются из начальных условий.