Вопрос 30.Геометрические и физические приложения тройных интегралов.

Объем тела.

Объем области Vвыражается формулой или в декартовых координатах,

- в цилиндрических координатах,

- в сферических координатах.

Масса тела.

Масса тела mпри заданной объемной плоскости γ вычисляется с помощью тройного интеграла как

где γ(x;y;z) – объемная плоскость распределения массы в точке M(x;y;z).

Статические моменты.

Моменты Sxy,Sxz,Syz тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyzвычисляются по формулам:

Центр тяжести тела.

Координаты центра тяжести тела Vнаходятся по формулам:

Моменты инерции тела.

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам:

а моменты инерции относительно координатных осей:

ВОПРОС 31.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГОРОДА, ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ.

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S, пространства Oxyz определена непрерывная функция f(x;у;z). Разобьем поверхность S на n частей Si площади которых обозначим черезΔSi, а диаметры через di, i=1:n. В каждой части Si

ВОПРОС 32. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА, ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ.

ВОПРОС 33.СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОВЕРХНОСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА.

ВОПРОС 34. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО.

Теорема: пусть V простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S. И пусть P(x,y,z,), Q(x,y,z,), R(x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, тогда имеет место формула,которая приводит поверхностный интеграл по замкнутой поверхности S к троймому интегралу по области V, которую эта поверхность ограничивает.

ВОПРОС 35. ФОРМУЛА СТОКСА

Пусть S поверхность, ограниченная контуром l.

Теорема: Если P(x,y),Q(x,y), R(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными второго порядка на поверхности S, то имеет место формула, которая устанавливает связь между поверхностным интегралом по поверхности S c криволинейным интегралом по замкнутому контуру l, ограничивающим эту поверхность.

ВОПРОС 36. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ.

Существует функция Z=f(x,y), определенная в некоторой окрестности точки М и её производной , единичный вектор l.

Для характеристики скорости изменения функции в точке М(x,y) в направлении вектора l вводится понятие производной по направлению.

Определение: Предел отношения называется производной функции f(M) по направлению вектора l и обозначается .

Если f(x,y) дифференцируема в точке M то её приращение можно представить в виде:

при

Вопрос 37. Градиент его свойства и приложения.

Определение: Градиентом функции z=f(M) в точке М(x,y) называется вектор координаты которого равны соответствующим частным производным взятым в точке М(x,y)

а производная по направлению равна:

Отсюда следует, что производная по направлению имеет общую величину при cosϕ=1 ϕ=0

т.е. когда направление l совпадает с gradz, градиент функции z=f(M) в точке М(x,y) характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.