Вопрос 4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

Использование интегрирующего множителя;

Метод вариации постоянной.

Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

то интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).

Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде:

где C − произвольная постоянная.

Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).

Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x0) = y0, то такая задача называется задачей Коши.

Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x0) = y0.

Пример 1

Решить уравнение y' − y − xex = 0.

Решение.

Запишем данное уравнение в стандартной форме: Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель: Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением:

.

Вопрос 5. Уравнение высших порядков, допускающие понижение порядка.

Уравнение где x - независимая переменная, y - искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области и во всяком случае зависит от , называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.

1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.

Рассмотрим уравнения вида С помощью замены , где u - новая неизвестная функция, уравнение (2) приводится к уравнению (n-k) -го порядка: .

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

В это уравнение явно не входит неизвестная функция. Следовательно, полагая получим дифференциальное уравнение первого порядка Разделяя переменные и интегрируя, имеем Переходя к старым переменным, получим дифференциальное уравнение интегрируя которое, получим

2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Рассмотрим уравнения вида С помощью замены - новая искомая функция независимая переменная) порядок уравнения (3) понижается на единицу, так как , ,

Данная подстановка дает уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции p:

При осуществлении такой замены возможна потеря решения y=const. Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения (3) решений такого вида.

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Уравнение не содержит явно переменную x, делая замену , уравнение запишется в виде Отсюда находим Из первого из двух последних уравнений получаем y=C, а из второго имеем , или , откуда Интегрируя, находим

Окончательно имеем где - новая произвольная постоянная.