Общее решение (лоду) второго порядка.

Порядок	n=2
Общий вид ЛОДУ
Характеристическое уравнение
Характер корней	- действительные различные числа	действительные одинаковые числа	- комплексно сопряженные числа
Фундаментальная система решений
Общее решение

Вопрос 7. Теорема о структуре общего решения лнду. Решение лнду с постоянными коэффициентами и специальной правой частью методом подбра.

Рассмотрим случай линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ЛНДУ

(2),

где a, b, c - действительные постоянные, а непрерывная на некотором интервале функция.

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ):

Общее решение y ЛНДУ (2) есть сумма общего решения y0 соответствующего однородного уравнения ЛОДУ и любого частного решения неоднородного уравнения:

Таким образом, чтобы найти общее решение ЛНДУ, нужно найти общее решение соответствующего ЛОДУ и какое-нибудь частное решение ЛНДУ. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной.

Частное решение ЛНДУ можно найти методом вариации произвольных постоянных или методом подбора (метод неопределенных коэффициентов по виду правой части уравнении.)

Решение ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Рассмотрим случай, когда коэффициенты в уравнении (6.1) постоянны, т.е. уравнение имеет вид:

, (7.1)

где .

Рассмотрим метод отыскания частного решения уравнения (7.1) в случае, когда правая часть имеет специальный вид. Это метод называется методом неопределённых коэффициентов и состоит в подборе частного решения в зависимости от вида правой части . Рассмотрим правые части уравнения (7.1) следующего вида:

, где – многочлен степени , причём некоторые коэффициенты, кроме , могут равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом случае.

Если число не является корнем характеристического уравнения (5.2), то частное решение записываем в виде:

,

где – неопределённые коэффициенты, которые подлежат определению методом неопределённых коэффициентов.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Для уравнения составляем характеристическое уравнение: . Откуда получаем . Следовательно, общее решение однородного уравнения есть

.

Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 1), причём не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде:

,

где A, B – неопределённые коэффициенты.

Найдём производные первого и второго порядков и подставим их в заданное уравнение:

.

Сократим обе части на и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства:

Из полученной системы уравнений находим: . Тогда , а общее решение заданного уравнения есть:

.

Если является корнем кратности соответствующего характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

,

где – неопределённые коэффициенты, которые подлежат дальнейшему определению.