Вопрос 8. Решение лнду методом вариации произвольных коэффициентов.
(метод Лагранжа) решения ЛНДУ.
Сущность этого метода решения ЛНДУ состоит в следующем.
Сначала находится общее решение соответствующего ЛОДУ:
,
где
и
линейно независимые решения ЛОДУ.
Полагают,
что
,
и общее решение
ЛНДУ ищутся в том же виде, что и
,
т.е.
.
Составляется и решается следующая система уравнений:
(1)
которая
имеет единственное решение
и
,
так как определитель этой системы
не равен нулю (поскольку
и
- линейно независимые).
Решение системы (1) находится по формулам
Определитель
- называется определителем Вронского
для функций
и
.
Интегрируя
найденные
и
по
находятся
.
Подставляются
найденные
и
в
и записывается общее решение ЛНДУ.
Пример1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Решение.
Находим
общее решение ЛОДУ:
.
Характеристическое уравнение
.
Его корни
.
Общее
решение ЛОДУ :
.
.
Общее решение ЛНДУ ищем в виде
. 
Составим и решим систему уравнений вида (18)
.
Найдем
.
Интегрируя и , находим и :
Подставим и в , найдем решение ЛНДУ:
Ответ:
.
ВОПРОС 9.ЧИСЛОВОЙ РЯД.СХОДИМОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА.НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД
выражение
вида
называется числовым рядом ряд называется
сходящимся, если Lim
Sn
сущ и не бесконечен.
ряд
называется геометрическим. ряд сход
если |q|<1
если |q|=>1
расходится
Необх призн сходимости: если ряд сходится, то предел его общего члена навен 0
ряд вида 1+1/2+1/3+1/4+1/5+..+1/n называется гармоническим
ВОПРОС10.ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ,ВЫЧИТАНИЯ,УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО ДЛЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ. ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВОГО РЯДА С ОТБРОШЕННЫМ ИЛИ ПРОПИСАННЫМ КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ.
Если ряд a1+a1+..+an сход и его сумма равна А, то ряд a1C+a2C+anC 1, где С-конст,также сходится и его сумма равна AC
Отбрасывание или приписываник к ряду членов не меняет характера сходимости
ВОПРОС 11.ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
1.Пусть даны 2 ряда А и B, причём an=>0 и bn=>0, тогда
Если ряд 2 сход то 1 ряд сход, если ряд 1 расход, то ряд 2 расход
2.Пусть даны 2 строго положит ряда, рассм предел их общих членов lim an\bn=к, если к существует и конечно, то оба ряда одинаково сход или расх
ВОПРОС 12. ПРИЗНАКИ КОШИ И ДОЛОМБЕРА
Признак Доломбера: Дан строго положит ряд, если сущ конечный предел отношения последнего члена к предыдущему, то при d<1 ряд сход при d>1расход при d=1вопрос открыт
Признак Коши: Дан неотриц ряд, если существует конечн предел корня n-ной степени из an, то при D<1 ряд сход, d>1 расход d=1 вопрос открыт.
ВОПРОС 13.ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ, ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА.ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ.
Ряд называется знакочередующимся, если 2 любых соседних члена имеют противоположные знаки
Признак Лейбница. Если знакочеред ряд удовл. след. условиям : члены по модулю не возрастают, предел общего члена=0, то знакочеред ряд сход.
Дост. усл. сходимости. Если данный ряд и ряд из модулей сход., то данный ряд сход. абсолютно
ВОПРОС 14.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАК ВЕЙЕРШТРАССА
Ряд
,
члены которого являются функциями от
переменной
,
называется функциональным.
Призн. Вейерштрасса
Пусть существует
последовательность
такая,
что для любого
выполняется
неравенство
Пусть, кроме того,
ряд
сходится. Тогда ряд
сходится на множестве Х абсолютно и равномерно.
ВОПРОС 15.ТЕОРЕМА АБЕЛЯ. СУЩ. РАДИУСА СХОД. СТЕПЕННОГО РЯДА. НАХОЖД. РАДИУСА СХОДИМОСТИ
Т. Абеля: если степенной ряд сход в точке x1 не=0, то он абсолютно сход при всех х таких что |x|<|x1|
если расход в x2>0 то он расход. при всех х для которых|x|>|x2|
Сущ радиуса сход. Если степенной ряд имеет более чем 1 точку сход. и имеет точки расходимости, то сущ R>0, что в интервале (-R;R) ряд сход. а в промежутке (-беск;-R) (R;+беск) ряд расх.В x=+-R поведение ряда разное.
Обл сход находим так: сост ряд из модулей и прим призн Доломбера или Коши для решения вопроса о сходимости на концах интервала сходимости.