Вопрос 16. Основные свойства степенных рядов

Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком содержащемся внутри интервала сходимости.

(непрерывность суммы ряда). На любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости степенного ряда (1.2), сумма ряда есть непрерывная функция.

(Почленное интегрирование степенного ряда). Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

(Почленное дифференцирование степенного ряда). Пусть степенной ряд

   имеет радиус сходимости R. Тогда ряд

   

полученный в результате почленного дифференцирования ряда также имеет радиус сходимости R.

Вопрос 17.Теорема разлож функции в ряд тейлора

если функция имеет в окрестности точки x0 производные до n-ного порядка включительно и имеет n+1 производную в проколотой окрестности точки x0 и производные до n-ного порядка непрерывны, то имеет место формула

Вопрос 18. Разложение в ряд макларена sin,cos и т.Д.

Вопрос 19.Применение степенных рядов к приближённым вычислениям

 Пример 1.

Вычислить с точностью до 0,001.

Воспользуемся разложением Тогда

= 0,0238+0,0046– –0,0008≈0,7475≈0,748.

Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.

Вычисление интегралов.

Подынтегральную функцию представляют в виде ряда Тейлора и почленно интегрируют.

Пр. Вычислить J = dx( sin x /x) с точностью 0,001

J = dx 1/x (x – x3/3! + x5/5! – . .) = ( x – x3/3!3 + x5/5!5 - . .) |0.50 = 1/2 –1/ 233!3 + ½55!5 - .

Имеем 1/ 233!3 = 1/144 > 0.001 , ½55!5 = 1/19200 < 0.001 . Ряд знакочередующийся и по признаку Лейбница погрешность  не превосходит модуля первого из отброшенных членов, т.е. точность 0,001 обеспечивают два первых члена ряда J = 1 + 1/144 = 0.4931

Пример 2.

Вычислить с точностью до 0,001.

Воспользуемся разложением Тогда

=

0,0238+0,0046–

–0,0008≈0,7475≈0,748.

Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.

Проинтегрировать дифференциальное уравнение y′=y+x2, y(0)=-2 методом последовательного дифференцирования.

Будем искать решение в виде ряда Маклорена:

y(x)=y(0)+ .

Вычислим производные: y′=y+x2, y″=y′+2x, y″′=y″+2, y(4)= y″′, …, y(n)= y″′ при n=4, 5, … .

При x=0 получаем: y(0)=-2, y′(0)=-2, y″(0)=-2, y(n)(0)=0 при n=3, 4, 5. Окончательно получаем y(x)=-2-2x-x2.

Вопрос 20. Теорема о единственности разложения функции в тригонометрический ряд. Св-ва коэф тригонометрич ряда фурье

Определение. Тригонометрическим рядом Фурье функции называется ряд,

построенный по системе функций, приведенной в примере §11. Ряд пишется в виде:

Теорема 1. Тригонометрический ряд Фурье кусочно-непрерывной на [−π, π] функции сходится к ней в каждой точке непрерывности отрезка (поточечная сходимость).

В точках разрыва функции ряд Фурье сходится к значению среднего арифметического односторонних пределов: {без доказательства}

Теорема 2. Если функция непрерывна на то ее ряд Фурье сходится

к ней равномерно, т.е. (в абсолютной норме). {без доказательства}

Если функция определена на отрезке [−l, l], то разложение будет иметь вид:

Замечания. 1) Если заданная функция − четная (нечетная), то разложение будет только по косинусам (синусам) { для четной функции: произведение нечетно, и все ,

для нечетной − все }

2)Функция может быть определена на большем промежутке, однако ее ряд Фурье S(x)

будет функцией периодической, с периодом 2π (или 2l).

Пример.

Ответ:

Что скидывал Олег:

Если функция определена на отрезке [-pi;pi] , разлогается в тригонометр ряд и коэф разложения определяются по формулам

то разложение единственно.

ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ