6. Жазықтықтағы түзудің теңдеулерінің түрлері. Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық. Жазықтықтағы екі түзудің арасындағы бұрыш.

Жазықтықтағы түзу теңдеулердің түрлері

Анықтама: Берілген түзуге параллель болатын кез- келген нөлдік емес вектор оның бағыттауыш векторы д.а.

ˉa‌‌ ‌‌ ׀׀P ˉa‌‌-бағыттауыш Р-ң

ˉb‌‌ ‌‌ ׀׀P ˉb‌‌- бағыттауыш Р-ң

Кез келген M(x,y)

=

M нүктесі радиус векторы

= ={x,y}

Түзудің теңдеуін жазу үшін о-ң бойында жатқанбір нүкте ж/е бағыттауыш вектор қарастырылады

P түзу берілген

a‌‌‌׀׀P=> ˉa‌‌{e,m},M₀=(x₀,y₀) ЄP

кез келген M(x,y)- ағынды нүкте ЄP

ˉr=ˉr₀+ˉM₀ˉM; P ‌‌‌׀׀ M₀M ׀׀ ˉa‌‌=> Ξλ: ˉM₀ˉM=λˉa‌‌, λ=t

ˉr=ˉr₀ + tˉa‌ ‌ (1)

t€(-∞;+∞)

ˉr={x,y}; ˉr₀={x₀,y₀}

x=x₀+t*l

y=y₀+t*m (2) координаттар теңдуі

t=(x-x₀⁄l)=( y-y₀⁄m) (3) түзудің канондық теңдеуі

Түзудің жалпы теңдеуі

Теорема: 1) Жазықтықтағы түзу әрқашан келесі бірінші дәрежелі теңдеумен анықталады:

Ax+By+C=0 (4)

2) Кері (4) түрді кез келген теңдеу жазықтықтықтағы түзудің теңдеуі болады.

Д/y :1) (3) түзу (x-x₀⁄l)=( y-y₀⁄m)

Mx+(-l)y+(ly₀-mx₀) =0

m=A; -l=B; ly₀-mx₀=C

Ax+By+C=0

2) Ax+By+C=0 =>(3)

(4)-ң алгебра бойынша САТЖ ретінде қарастырсақ шексіз көп шешімі бар

(4) шешімін қарастырсақ: x_0, y₀

Ax₀+By₀+C=0 (5)

(4)-(5)=> A(x-x₀)+B( y-y₀)=0 (6)

(x-x₀⁄(-B))=( y-y₀⁄A) (7)

Салдары1: (7) б-ша ˉb‌‌={-B,A} түзу бағ. ˉb‌‌

Салдары2: (6) ˉN{A,B}

M₀ˉM={ x-x₀ ; y-y₀}

(ˉN, M₀ˉM)=0 => ˉN ┴M₀ˉM => ˉN ┴P

Ан: Ax+By+C=0 түзудің жалпы теңдеуі д.а.

ˉN={A,B} о-ң нормаль векторы д.а.

2 нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі

a= ˉM ₁ˉM₂ ׀׀P={x₂-x₁; y₂-y₁}

(3)=(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁) (8)

Кесінділер арқылы жазылған теңдеу

Ax+By+C=0 ; Ax+By=-C /-C

x/(-C/A)+y/(-C/B)=1 =>-C/A=a; -C/B=b

x/a+y/b=1 (9)

1. x=0 =>y=b

2. y=0 =>x=a

a,b>0

a,b<0

Бұрыштық коэффициет арқылы түзудің теңдеуі

ˉа={l,m}

(3) (x-x₀⁄l)=( y-y₀⁄m)

M(x-x₀) /l= y-y₀

m/l=tgα=k

y=k(x-x₀)+y₀

y=kx+( y₀-kx)

y-kx=b

y=kx+b

x=0 => y=b =>(0,b)ЄP

2 түзудің өзара араласуы

P₁: A₁ x+B₁ y+C₁ =0 ˉN₁={A₁ ,B₁}

P₂: A₂ x+B₂ y+C₂ =0 ˉN₂={A₂ ,B₂}

P₁ ∩ P₂ ˉN₁ ׀׀⁄ ˉN₂

A₁/ A₂≠ B₁/ B₂

2) P₁׀׀ P₂ A₁/ A₂= B₁/ B₂≠C₁ /C₂

3) P₁׀׀ P₂ A₁/ A₂=B₁/ B₂=C₁ /C₂

Салдары: Параллель түзулердің теңдеулері ұқсас болады. Олардың тек бос мүшесінде ғана айырмашылығы болады.

2 түзудің арасындағы бұрыш

Cosα=(ˉN₁,ˉN₂)/ ׀ˉN₁׀ ׀ˉN₂׀

2 түзудің арасындағы бұрыш

2 нормаль арасындағы бұрыш

P₁׀׀ P₂ A₁ x+B₁ y+C₁ =0 ˉN₁={A₁ ,B₁}

P₁׀׀ P₂ A₂ x+B₂ y+C₂ =0 ˉN₂={A₂ ,B₂}

Cosα=(ˉN₁,ˉN₂)/ ׀ˉN₁׀ ׀ˉN₂=( A₁ A₂+ B₁ B₂)/(√ A₁²+ B₁²√ A₂²+ B₂²)

Cosβ=cos(180-α)=-cosα

P₁: y=k₁ x+b₁

P₂: y=k₂ x+b₂

k₁=tgα₁

k₂=tgα₂

tgψ = tg(α₂- α₁)=( tgα₂- tgα₁)/(1+ tgα₁·tgα₂)=( k₂- k₁)/(1+ k₁·k₂)

P₁ ┴ P₂  k₂- k₁=0  k₂=k₁

Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық

P: Ax+By+C=0

М₀ЄP

d=(׀ Ax₀+By₀+C ׀)/ (√A²+B²)

α=(пр. ˉM ₁ˉM₀)=( ˉM ₁ˉM₀)·(cosψ)= ((ˉM ₁ˉM₀)· ׀ˉN׀· cosψ)/ ׀ˉN׀= ׀׀ˉM ₁ˉM₀,ˉN ׀ / ׀ˉN׀ =

=( A(x₀-x₁)+B( y₀-y₁))/(N)=( Ax₀ +By₀ +( -Ax₁-By₁))/(√ A²+B²)