1. Теңдеулер жүйесінің шешімі бар болатын болса, ондай жүйені үйлесімді жүйе деп айтады.

Ā матрицасы төмендегідей әдіспен анықталсын:

Бұл матрицаны (1) жүйенің кеңейтілген матрицасы деп атайды.

Кронекар-Капелла теоремасы

• (1) жүйе үйлесімді болуы үшін негізгі матрица мен кеңейтілген матрицаның рангілері тең болуы қажетті және жеткілікті.

• Егер үйлесімді теңдеулер жүйесінің рангісі белгісіздердің санына тең болатын болса, онда мұндай жүйенің жалғыз шешімі болады.

• Егер үйлесімді теңдеулер жүйесінің рангісі белгісіздер санынан кіші болатын болса, онда теңдеулер жүйесінің шексіз көп шешімі болады.

• Егер негізгі матрицаның рангісі кеңейтілген матрицаның рангісінен кіші болатын болса (1) теңдеулер жүйесінің шешімі болмайды.

Крамер формуласы

Баяндауымызды жеңілдету үшін үшінші ретті алгебралық сызықтық теңдеулер жүйесін қарастыралық:

Мынандай анықтауыштар есептелген болсын:

Δ анықтауышы (1) жүйенің анықтауышы деп аталынады. Ал Δ_x, Δ_y, Δ_z анықтауыштары Δ анықтауышының сәйкес бірінші, екінші, үшінші бағандарын бос мүшелермен ауыстырудан алынған анықтауыштар.

Мынандай жағдайлар болуы мүмкін:

1. (Δ≠0). Бұл кезде жүйенің жалғыз ғана шешімі бар, ол шешім мына формулалармен анықталады:

Бұл формулалар Крамер формулалары деп аталынады.

2. (Δ=0). Мұндай кезде жүйенің шешімі болмауы да немесе шексіз көп шешімдері болуы да мүмкін. Мысалы

жүйесінің шешімі жоқ, ал

жүйесінің шексіз көп шешімі бар.

Біртектес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесіндегі барлық бос мүшелер нольге тең болатын болса, ондай теңдеуді біртектес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі деп айтамыз:

Біртектес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі барлық уақытта үйлесімді (r(A)=r(Ā)), оның барлық уақытта нольдік шешімі бар: x₁=x₂=…x_n=0.

Теорема 1. (3) жүйенің нольден ерекше шешімдері бар болуы үшін жүйенің матрицасының рангісі белгісіздер санынан кіші болуы қажетті және жеткілікті, яғни r(A)<n.

Теорема 2. n теңдеуден тұратын n белгісізі бар біртектес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің нольден ерекше шешімдері бар болуы үшін жүйенің анықтауышының нольге тең болуы қажетті және жеткілікті.

Жазықтықтағы аналитикалық геометрияның элементтері

Т ік бұрышты координаталар системасындағы нүктенің координаталары. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу

Аналитикалық геометрия геометриялық бейнелерді алгебралық әдістермен зерттейді. Аналитикалық геометрияның негізгі құралы XVII ғасырда Декарт енгізген координаталар әдісі болып табылады.

О нүктесінде қиыласатын, кесінділерді өлшеу бірліктері бірдей болатын өзара перпендикуляр екі Ох, Оу түзуді тік бұрышты координаталар системасы деп атайды. Ох осін абсцисса осі деп, Оу осін ордината осі деп атайды.

Тік бұрышты координаталар системасын кейде Декарттық координаталар системасы деп те айтады. Оху координаталар системасында берілген М нүктесінің координаталары х, у (х, у сандары суретте көрсетілген кесіндінің ұзындықтары арқылы анықталады) сандары болса, онда ол нүктені М(х; у) деп белгілейміз. Мұнда х -нүктенің абсциссасы, у - нүктенің ординатасы.

Декарттық координаталар системасында М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂) нүктелері берілсін. Олардың ара қашықтығы төмендегі формуламен есептеледі:

Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте үшбұрыш анықтайтынын мектеп курсынан білеміз.

Теорема. Бір түзудің бойында жатпайтын кез-келген үш нүкте А(х₁;у₁),В(х₂;у₂), С(х₃;у₃) анықтап тұрған үшбұрыштың ауданы мына формуламен есептеледі: