Туындының геометриялық мағынасы

Қисықтың берілген нүктеде жанамасы деген ұғымды анықталық. Бізге бір қисық және ол қисықта жатқан M₀ нүктесі берілсін. Осы қисықтың бойынан бұл нүктеден басқа тағы да M₁ бір нүктесін алып осы екі нүктені қосатын түзу жүргізсек ол түзу қисықтың M₀M₁ қиюшысы болады. Енді осы M₁ нүктесі біртіндеп қисықты бойлай M₀ нүктесіне жақындаса, қиюшы M₀ нүктесін айнала бұрылып (мысалы M₀M’₁, M₀M”₁ жағдайларына көшіп) бір M₀T түзуіне жақындауы мүмкін. Егер осындай M₀T түзуі табылса, оны берілген қисықтың M₀ нүктесіндегі жанамасы деп айтамыз.

Енді біз f(x) функциясын өзін және оның декарттық координаталар системасындағы графигін қарастыралық. График жалпы жағдайда қисық сызық болады. Аргумент мәні x болғанда функция мәні y=f(x) болсын. Сонда осы мәндер қисық бойында жатқан M₀(x,y) нүктесінің координаталары болады. Енді аргументке Δx өсімшесін берелік. Аргументтің жаңа мәніне функцияның жаңа мәні y+Δy=f(x+Δx) сәйкес келеді. Осы екі жаңа мәнге сәйкес келетін нүкте M₁(x+Δx,y+Δy) болады. Енді қиюшысын M₀M₁ жүргізелік те оның Ox осінің оң бағытымен жасайтын бұрышын ϕ деп белгілейік. Енді Δy/Δx қатынасын құралық. Суреттен

болатынын аңғарамыз.

Енді Δx нольге ұмтылатын болса, онда M₁ нүктесі қисықты бойлай жылжып M₀ нүктесіне жақындайды. M₀M₁ қиюшысы M₀ нүктесін айнала бұрылады да жанамаға ұмтылады. Қиюшының абсцисса осімен жасайтын ϕ бұрышы да Δx өзгеруіне тәуелді түрде өзгеріп отырады да Δx нольге ұмтылған кезде бір α бұрышына ұмтылады. Ал бұл бұрыш жанаманың абсцисса осімен жасайтын бұрышы. Сондықтан жанаманың бұрыштық коэффициенті мына теңдікті қанағаттандырады:

Сондықтан

яғни f’(x) туындысы аргументтің берілген x мәнінде f(x) функциясының графигінің M₀(x,y) нүктесіндегі жанаманың Ox осінің оң бағытымен жасайтын бұрышының тангенсіне тең болады екен, басқаша айтқанда жанаманың бұрыштық коэффициентіне тең болады екен.

Дифференциалдау ережесі және элементарлық функциялар туындыларының таблицасы

тұрақты сан болсын, дифференциалданатын (туындылары бар) функциялар болсын. Онда төмендегі теңдіктер (дифференциалдау немесе туынды табу ережелері) орындалады:

1. C’=0;

2. (x)’=1;

3. (u±v)’=u’±v’;

4. (Cu)’=Cu’;

5. (uv)’=u’v+uv’;

6. 

7. 

8. егер y=f(u), u=ϕ(x), болса, яғни y=f(ϕ(x))–дифференциалданатын (туындысы бар) функциялардан құралған күрделі функция болатын болса, онда

9. егер y=f(x) дифференциалданатын (туындысы бар болатын) кері функциясы x=g(y) и g’(y)≠0 бар болса, онда

Туындының анықтамасын және жоғарыда келтірілген ережелерді қолдана отырып төмендегі элементарлық функциялар туындыларының таблицасын алуға болады:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Жоғарғы ретті туындылар

Бізге [a,b] аралығында туындысы бар y=f(x) функция берілсін. Туындының өзі де функция болатындығын жоғарыда айтып кеткен болатынбыз, сондықтан оның туындысын да табуға болады, ол туындыны y=f(x) функциясының x бойынша екінші ретті туындысы деп атаймыз. Яғни бірінші ретті туындының туындысын екінші ретті туынды деп айтамыз, екінші ретті туынды былай белгілненеді:

y”=(y’)’=f”(x).

Мысалы y=x⁵ болса, онда y’=5x⁴; y”=(5x⁴)’=20x³.

Екінші ретті туындыдан туынды тапсақ ол үшінші ретті туынды болады, ол былай белгіленеді:

Жалпы (n-1)--ретті туындының туындысын n -ретті туынды деп айтады, оны былай y⁽ⁿ⁾ кейде былай f⁽ⁿ⁾(x): белгілейді. Сонымен:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’=f⁽ⁿ⁾(x).

Туындының ретін дөңгелек жақшаға алып жазады (дәреже көрсеткішімен шатастырып алмас үшін). Төртінші, бесінші және олардан жоғары ретті туындыларды рим цифрларымен белгілеуге болады, онда кезде туындының реті жақшаға алынбай жазылады: y^IV, y^V, y^VI,... Мысалы, егер y=x⁵ болса, онда y’=5x⁴, y”=20x³, y’’’=60x², y^IV=120x, y^V=120, y^VI=y^VII=…=0.