Нақты сандар. Функция. Функция шегі. Функцияның біржақты шегі

Екі бүтін санның қатынасы ретінде өрнектеуге болатын санды рационал сан дейміз. Екі бүтін санның қатынасы ретінде өрнектелмейтін сандар да болады, мысалы саны. Мұндай сандарды иррационал сандар деп атайды.

Барлық рационал және иррационал сандар жиыны болатын Q жиынын нақты сандар жиыны деп атайды. Оны R деп белгілейік. |а| арқылы егер а саны теріс сан болса -а -ға тең болатын, ал оң сан болса соның өзіне тең болатын санды белгілейік, бұл санды а санының абсолют шамасы (модулі) деп атайды. Нақты сандар үшін барлық уақытта |а+b|≤|а|+|b| теңсіздігі орындалады.

Барлық нақты сандар жиыны мен түзудің нүктелері арасында сәйкестік орнатуға болады. Ол үшін түзудің бір нүктесін белгілеп алып (бас нүкте деп аталады), үзындығы 1 болады деп есептелетін кесіндіні таңдап алу керек. Сосын әрбір нақты санға ұзындығы сол нақты санның абсолют шамасына тең болатын, бір ұшы бас нүктеде болатын кесіндінің екінші ұшын сәйкестікке қоямыз. Егер нақты сан оң сан болса, онда кесіндінің екінші ұшын бас нүктенің оң жағына, ал теріс сан болса сол жағына орналастырамыз. Осы түзуді сан осі деп айтамыз. Сан осінің а<х<b (а≤х≤b) шартын қанағаттандыратын барлық х нүктелерінің жиынын интервал (кесінді) деп атап былай (a; b) ([а; b]) белгілейміз.

Анықтама. Егер бір G обылысында жатқан x айнымалысының кез-келген мәніне y айнымалысының бір мәні сәйкестікке қойылса, онда y айнымалысы x айнымалысының функциясы болып тұр дейміз де, символды түрде былай y=f(x) жазамыз. x айнымалысын тәуелсіз айнымалы немесе функцияның аргументі деп, ал y айнымалысын тәуелді айнымалы немесе функцияның мәні деп атаймыз. G обылысын функцияның анықталу обылысы дейміз. Функцияның мәндері құрап тұрған жиынды функцияның өзгеру обылысы дейміз.

у=f(х) функциясы х₀ нүктесінің аймағында (х₀ нүктесі жатқан интервал) анықталған болсын. Бір А саны берілсін. Егер кез-келген ε>0 сан үшін δ=δ(ε)>0 саны табылып, 0<|х—х₀|<δ орындалған кезде |f(х)-А|<ε орындалатын болса А санын х айнымалысы х₀-ге ұмтылғандағы (х→х₀) функцияның шегі деп айтамыз. Кейде А санын х=х₀ нүктесіндегі у=f(х) функциясының шегі деп те айтамыз.

Егер х→х₀ да f(х) функциясының шегі А саны болса, онда біз былай жазамыз:

Жалпы жағдайда х₀ нүктесінде f(х) функциясы анықталмаған болуы да мүмкін.

А саны берілген сан болсын. Егер кез-келген ε>0 саны үшін N=N(ε)>0 саны табылып |х|>N болған кезде |f(х)-А|<ε теңсіздігі орындалатын болса да, біз А санын x айнымалысы шексіздікке ұмтылғандағы f(х) функциясының шегі деп айтамыз да

деп жазамыз.

Егер x<x₀, x→x₀ болса, онда x→x₀-0 деп, ал x>x₀, x→x₀ болса x→x₀+0 деп жазамыз. Онда

сандары сәйкес функциясының нүктесіндегі сол және оң жақты шегі деп айтамыз.

Сол және оң жақты шектерді біржақты шектер деп айтады. Функцияның x₀ нүктесінде шегі бар болуы үшін осы нүктеде оның сол және оң жақты шектері бар болып, олардың өзара тең болуы қажетті және жеткілікті (f(x₀-0)=f(x₀+0)).

Шектер туралы негізгі теоремалар

Теорема 1. Мына шектер

бар болсын. Онда

болады.

Теорема 2. Мына шектер бар болсын

Онда

болады.

Бұл теоремалар х₀=±∞ болғанда да орындалады.

Егер теоремалардағы шарттар орындалмаса, онда мынандай

анықталмаған өрнектерге кездесуәміз мүмкін. Бұл анықталмаған өрнектер әртүрлі жағдайларда әртүрлі сандарға тең болуы мүмкін. Сондықтан да бұларды анықталмағандықтар деп атайды. Бұлардың мәндерін табу үшін (анықталмағандықтарды ашу үшін) әртүрлі арнайы әдістер қолданылады.

Тамаша шектер. Ақырсыз аз функцияларды салыстыру

Төмендегідей екі шек өте жиі кездесетін шектер:

Бұларды бірінші және екінші тамаша шектер деп атайды.

Екінші тамаша шекті e саны деп атайды (әйгілі математик Эйлердің құрметіне). Бұл сан иррационал сан болады, тек қана иррационал сан емес әрі трансцендентті сан (коэффициенттері бүтін сан болатын көпмүшеліктің түбірі болмайтын сан) болады.

Негізі e саны болатвын логарифмді натурал логарифм деп атайды, ал осы натурал логарифмдік функцияны y=lnx деп белгілейді (ондық логарифмдік функция y=lgx деп белгіленетінін мектем курсынан білеміз).

Егер

яғни кез-келген ε>0 саны үшін δ>0 саны табылып 0<|x-x₀|<δ болған кезде |α(x)|<ε орындалатын болса, онда α(x) функциясын х→x₀ да ақырсыз аз функция, немесе ақырсыз аз шама деп атаймыз.

Ақырсыз α(x), β(x) (х→x₀) аз шамалар нольге әртүрлі жылдамдықтармен ұмтылуы мүмкін. Кей жағдайларда олардың нольге ұмтылу жылдамдықтарын салыстыруға тура келеді. Екі α(x), β(x) (х→x₀) ақырсыз аз шамалардың нольге ұмтылу жылдамдықтарын салыстыру үшін олардың х→x₀ да қатынасының шегін табады:

Егер С≠0 болса, онда α(x), β(x) ақырсыз аз шамаларының ақырсыз аздық реттері бірдей (нольге ұмтылу жылдамдықтары бірдей) деп айтады. Егер С=0 болса, онда α(x) шамасының ақырсыз аздығы β(x) шамасымен салыстырғанда жоғары деп, ал β(x) шамасының α(x) мен салыстырғанда ақырсыз аздығы төмен деп айтады.

Егер

болса, онда α(x) шамасының ақырсыз аздық реті β(x) шамасымен салыстырғанда k болады деп айтады.

Егер

болса, онда α(x), β(x) (х→x₀) шамаларын эквивалентті шамалар деп айтып α(x)≈β(x) деп белгілейді.

Теорема 3. Егер α(x)≈α’(x), х→x₀ және β(x)≈β’(x), х→x₀ болса, онда х→x₀ да төмендегі теңдік орындалады: