Түзудің жалпы теңдеуі

Ax+By+С=0 (1)

Мұнда A, B, C тұрақты коэффициенттер, олар A²+B²≠0 шартын қанағаттандыруы керек. Егер осы коэффициенттердің бірі нольге тең болса, онда түзудің толық емес жалпы теңдеуін аламыз.

• Егер А=0 болса, онда By+C=0 теңдеуі Ох осіне параллель түзу теңдеуі болады.

• Егер В=0 болса, онда Ax+C=0 теңдеуі Оу осіне параллель түзуді анықтайды.

• Егер С=0 болса, онда Ax+By=0 теңдеуі анықтап тұрған түзу координаталар системасының бас нүктесі арқылы өтеді.

• Егер А=С=0 болса, онда By=0 теңдеуі Ох осінің теңдеуі болады.

• Егер В=С=0 болса, онда Ах=0 теңдеуі Оу осінің теңдеуі болады.

Екі түзу қиылысуы мүмкін, немесе олар өзара параллель болуы мүмкін. Екі түзу тік бұрыш жасап қиылысатын болса, онда олар өзара перпендикуляр болады.

Егер екі түзу y=k₁x+b₁, y=k₂x+b₂ теңдеулері арқылы беріліп тұрса, олардың арасындағы сүйір бұрыш мына формуламен есептеледі:

Ал егер екі түзу А₁х+В₁у+С₁=0, А₂х+В₂у+С₂=0 жалпы теңдеулерімен берілсе, олардың арасындағы бұрышты мына формуламен есептеуге болады:

Түзулер бұрыштық коэффициентпен өрнектелген теңдеулері арқылы берілсін. Егер олар өзара параллель болса, онда tgα=0, сондықтан k₂=k₁ (түзулердің өзара параллель болу шарты).

Түзулердің өзара перпендикуляр болу шарты төмендегідей болады:

Егер түзулер жалпы теңдеулері арқылы берілсе, онда олардың өзара параллель, өзара перпендикуляр болу шарттарын сәйкес былай жазуға болады:

Екінші ретті қисықтар

Анықтама 1. Центр деп аталатын нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан нүктелер жиынын шеңбер деп атайды. Шеңбер нүктелерінің центрден ара қашықтығын шеңбердің радиусы деп атайды.

Радиусы R, центрі O(a;b) нүктесінде орналасқан шеңбердің канондық теңдеуі былай жазылады:

Анықтама 2. Фокус деп аталатын екі берілген нүктелерден ара қашықтықтарының қосындысы тұрақты сан (2а) болатын (ол сан фокустардың ара қашықтығы болатын 2с санынан үлкен) нүктелер жиынын эллипс деп атайды.

Эллипстің канондық теңдеуі мынадай болады:

м ұнда b²=a²-c². с-саны фокустардың ара қашықтығының жартысына тең. a, b сандары эллипстің үлкен және кіші жарты осьтері деп аталады.

Егер a=b болса, онда эллипс радиусы a болатын, центрі координаталар системасының бас нүктесінде жататын шеңберге айналады. Эллипстің формасын эксцентриситет деп аталатын төмендегі шама сипаттайды:

Эллипсте жатқан нүктенің фокустардан ара қашықтығы эллипстің фокалдық радиустары деп аталады. Фокалдық радиустар мына формуламен есептеледі:

мұнда сол жақтағы фокалдық радиус-вектор үшін «+» таңбасы, ал оң жақтағы фокалдық радиус-вектор үшін «-» таңба алынады.

Анықтама 3. Фокустар деп аталатын екі нүктеден ара қашықтықтарының айырымы тұрақты санға (2а- саны, бұл сан фокустардың ара қашықтығы 2с санынан кіші болуы керек) тең болатын нүктелер жиынын гипербола деп атайды.

Гиперболаның канондық теңдеуі:

мұнда b₂=c₂-a₂. c-саны фокустардың ара қашықтығының жартысына тең. a, b сандары гиперболаның нақты және жорамал жарты осьтері деп аталады. Гиперболаның формасын оның эксцентриситеті сипаттайды:

Гиперболада жатқан нүктесінен фокустарға дейінгі ара қашықтық фокальдық радиустар деп аталады. Олар мына формуламен есептеледі:

мұнда сол жақтағы фокалдық радиус-вектор үшін «+» таңбасы, ал оң жақтағы фокалдық радиус-вектор үшін «-» таңба алынады.

Егер a=b болса, онда

гипербола теңбүйірлі гипербола деп аталынады.

Мына теңдеулермен анықталатын гиперболалар

түйіндес гиперболалар деп аталады.

Анықтама 4. Фокус деп аталатын нүкте мен директриса деп аталатын түзуден қашықтықтары өзара тең болатын нүктелер жиыны парабола деп аталады.

Егер параболаның директрисасының теңдеуі x=-p/2 болса, ал оның фокусы F(p/2;0) нүктесі болса, параболаның теңдеуі мынандай болады:

y²=2px

Бұл парабола абсцисса осіне қарағанда симметриялы болады. Фокалдық радиус-вектордың ұзындығы

формуласымен есептеледі:

x²=2py теңдеуі де параболаның теңдеуі болады, бұл парабола ординаталар осіне қарағанда симметриялы орналасқан.