Измерения

Представляет интерес экспериментально исследовать две зависимости.

Первая — зависимость углового ускорения ε от момента внешней силы М = mgr при условии, что момент инерции I остается постоянным.

Если на оси ординат откладывать угловое ускорение е, а на оси абсцисс — mgr, то, согласно (10), экспериментальные точки должны ложиться на прямую. Из (10) видно, что наклон этой прямой равен 1/I, а точка пересечения с осью абсцисс дает М_тр.

Если экспериментальные данные подтверждают линейную зависимость ε от mgr, то можно приступить к изучению второй зависимости — зависимости момента инерции I от расстояния R грузов m_гр до оси вращения маятника (рис. 1).

Согласно теореме Гюйгенса—Штейнера:

I(R) =I_о + 4m_грR².

Выясним, как проверить эту зависимость экспериментально. Для этого преобразуем соотношение (10), пренебрегая в нем малой величиной (моментом силы трения М_тр) по сравнению с моментом mgr. Из (10) имеем:

.

Следовательно

(11)

Из (11) понятно, как экспериментально проверить зависимость (11): нужно, выбрав постоянную массу m груза, измерять ускорение а при различных положениях R грузов m_гр на спицах. Результаты измерений удобно изобразить в виде точек на координатной плоскости ХОУ, где х = (R/r) ², у = g/а.

Если экспериментальные точки в пределах точности измерений ложатся на прямую, то это подтверждает зависимость (11), а значит, и формулу

I(R)=I₀+4m_грR².

Отметим, что при выводе формулы (11) мы пренебрегли моментом сил трения, т.е. считали, что М_тр << mgr. Значение М_тр получено из графика зависимости ε = ε (mgr) при R = const. Это и позволяет выбрать массу перегрузки так, чтобы неравенство mgr >> М_тр заведомо выполнялось.

Роль момента сил трения можно оценить и иначе. Для этого заметим, что если маятник в начальный момент вращается с угловой скоростью ω₀, то к моменту остановки он повернется на угол φ, определяемый из соотношения

(12)

где – начальная кинетическая энергия вращающегося маятника,

А_тр — работа сил трения.

В (12) предполагается, что момент сил трения является постоянной величиной и связан с угловым ускорением соотношением

I ε₀=M_тр, (13)

где ε ₀ — ускорение, определяемое только моментом сил трения.

Из (12) и (13) находим

. (14)

Пусть n – полное число оборотов, которое делает маятник до остановки, а Т₀ – период вращения маятника в начале движения. Тогда

.

и из (14) получаем:

. (15)

Отсюда ясно, как на опыте определить ε₀: нужно измерить время Т₀ за которое совершается первый оборот и полное число n оборотов маятника до остановки. Во всех дальнейших измерениях нужно следить, чтобы выполнялось неравенство ε₀<< ε.

Задание

1. Сбалансируйте маятник. Для этого оставьте на крестовине два груза на двух противоположных спицах на равных расстояниях от оси вращения. Спицы, на которых находятся грузы, соединены со втулкой резьбой. Вращая спицы в резьбе, добейтесь равновесия. Затем точно сбалансируйте грузы на второй паре спиц на таком же расстоянии от оси вращения.

Полезно несколько раз привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться. Подумайте, как на основании этих опытов определить, хорошо ли сбалансирован маятник.

2. Определите приближенно минимальную массу m₀, при которой маятник начинает вращаться, и оцените момент сил трения из соотношения M_тр≈m₀gr,

где r — радиус шкива, на котором подвешен груз m₀.

3. Оцените ускорение ε₀, возникающее под действием момента сил трения. Для этого приведите маятник во вращение, измерьте время T₀, за которое он совершает первый оборот, и полное число оборотов маятника до полной остановки. Затем по формуле (15) вычислите ε₀. Измерения повторите три раза и сравните соответствующие им значения ε₀.

4. Определите экспериментально зависимость углового ускорения ε маятника от момента приложенной силы mgr. В этой серии измерений момент инерции маятника должен оставаться постоянным: I = const.

Для определения зависимости ε = ε(mgr) измерьте время t, за которое груз m опускается на расстояние h. Измерение времени t для каждого груза при постоянном значении h повторите три раза. Затем найдите среднее значение времени падения груза по формуле

и определите среднее ускорение груза из соотношения (7):

.

Эти измерения и вычисления повторите для пяти значений массы m груза, причем для всех m должно выполняться неравенство m>>m₀, где m₀ — масса-перегрузка страгивающего маятник (см. п. 2).

Результаты измерений запишите в табл. 1.

Таблица 1

t1	t2	t3			h				mgr

r =

1. Время Δt определяется из соотношения:

2. Угловое ускорение находится по формуле ε = а/r.

3. Δm определяется с точностью, с которой известна масса грузов m.

Полученные экспериментально точки отложите в координатной плоскости х=mgr, у =ε и по ним постройте график зависимости

( рис. 3, а).

5. Проверьте экспериментально зависимость (11). Для этого, взяв постоянную массу груза m >> m₀, определите ускорение а груза m при пяти различных положениях R на спицах грузов m_гр.

В каждом положении R измерения времени падения t груза m с высоты h повторите три раза. Результаты измерений занесите в табл. 2, где определяются так же, как в табл. 1.

Полученные экспериментальные точки нанесите с учетом погрешностей в координатной плоскости х =(R/r)², у = g/ и постройте график зависимости у = у (х) (рис. 3, б).

Таблица 2

R

r

(R/r)2

mгр

t1

t2

t3

Δt

Δh

g/

Задачи

1. Определить момент инерции сплошного шара массой m=10 кг и радиусом R=0,1 м относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Ответы: 1) 0,25^.10^–2 кг^.м²; 2)1,32^.10^–2 кг^.м²; 3) 2,02^.10^–2 кг^.м²; 4) 0,04 кг^.м²; 5 5) 0,0431 кг^.м².

2. Цилиндр диаметром 12 см, имеющий массу 3 кг лежит боковой поверхностью на горизонтальной плоскости. Определить момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей по линии контакта с плоскостью.

Ответы:1) 0,0162 кг^.м²; 2) 0,0153 кг^.м²; 3) 0,0218 кг^.м²;

4) 0,0123 кг^.м²; 5) 0, 00923 кг^.м².

3. Определить момент инерции тонкого обода радиусом r=0,5м и массой 3 кг относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Ответы:1) 0.235 кг^.м²; 2) 1,25^.10^–2 кг^.м²; 3) 0,375 кг^.м²; 4) 0,575 кг^.м²;

5) 0,75 кг^.м²; 6) 2,65^.10^–2 кг^.м².

4. Диск радиусом 0,5 м и массой 20 кг вращается вокруг оси перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр тяжести. Найти момент инерции диска относительно этой оси.

Ответы:1) 0,250 кг^.м²; 2) 2,50 кг^.м²; 3) 0,125 кг^.м²; 4) 0,0135 кг^.м²; 5) 5,5 кг^.м².

5. Определить момент инерции вала массой 5 кг и радиусом R=0,02 м относительно оси, параллельной его оси симметрии и удаленной от нее на расстоянии а=10 см.

Ответы:1) 0,135 кг^.м²; 2) 0,0310 кг^.м²; 3) 0,0235 кг^.м²; 4) 0,0510 кг^.м²; 5) 0,205 кг^.м².

6. Маховик вращается по закону, выраженному уравнением φ=А+Вt+Ct², где А=2 рад, В=–16 рад/с, С=–2 рад/с². Момент инерции колеса равен 50 кг^.м². Чему равен вращающий момент М?

Ответы:1) –25 Нм; 2) 125 Нм; 3) 75 Нм; 4) –100 Нм; 5) 230 Нм.