2. Определение априорной вероятности

Вероятность элементарного события определяется как

где n – количество элементарных событий (возможных исходов).

Вероятность случайного события

где p_ir – вероятности элементарных событий , входящих в подмножество

_{При априорной численной оценке появления элементарных случайных событий, как правило, принимаются равновероятные исходы}

Тогда вероятность случайного события определится формулой

(1.1)

где – количество благоприятных исходов.

Элементы комбинаторики

Число сочетаний из n элементов по k:

, ;

Число перестановок из k элементов:

Число размещений из n элементов по k (сочетания с учетом перестановок):

Пример 1.2. Определить вероятность каждого числа: 1) при бросании игральной кости; 2) четного числа 3) числа ≥ 4.

Решение: 1). Вероятность выпадения каждого числа из множества

2). Вероятность выпадения четного числа исходя из (1.1)

3). Вероятность выпадения числа 4

Схемы подсчетов априорной вероятности по формуле (1.1)

1. Схема случаев для равновероятных исходов (схема урн).

Пример 1.3. Из урны вынимают выигрышных билетов и билета без выигрыша. Определить вероятность того, что выбранных наугад билетов будут выигрышными.

Решение. В примере используют формулу (1.1), в которой исходы и определяются по формулам

(1.2)

2. Общая схема случаев.

Пример 1.4. В партии из Q изделий K бракованных. Из партии выбирается наугад q изделий. Определить вероятность того, что среди этих q изделий ровно k изделий будут бракованными.

Решение. В примере также используют формулу (1.1), в которой исходы и определяются по формулам

(1.3)

Для схемы случаев характерна симметрия возможных исходов.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1.1. В корзине 20 белых, 30 черных и 50 красных шаров. Определить вероятность того, что первый вынутый из корзины шар будет: 1) белым 2) черным 3) красным.

Задача 1.2. В студенческой группе 12 юношей и 10 девушек. Какова вероятность того, что на семинаре по теории информации будут отсутствовать: 1) юноша 2) девушка 3) 2 юноши.

Задача 1.3. В течение года 51 день отличается тем, что в эти дни шел дождь (или снег). Какова вероятность того, что вы рискуете попасть под дождь (или снег). 1) отправляясь на работу; 2) отправляясь в поход на 5 дней.

Задача 1.4. Составьте самостоятельно задачу по схеме урн и решите ее.

3. Определение апостериорной вероятности

(статистической вероятности или частоты случайного события)

При априорном определении вероятности предполагается, что элементарные события A_i={a_i} равновероятны. Однако в действительности схема случаев не работает: p_i≠p_k, при i≠k. Для определения p_i, а в общем случае проводят целенаправленные испытания.

Если определить m как число благоприятных событию А исходов, то в результате n испытаний апостериорная вероятность равна

Из определения апостериорной вероятности следует, что

На основании закона больших чисел в алгебре множеств F(A) (A_r~A) частота случайного события равна

при

Помни: при увеличении числа испытаний частота случайного события (апостериорная вероятность) стремится к априорной вероятности этого события.

Пример 1.5. Определенная по схеме случаев вероятность выпадения решки при подбрасывании монеты равна 0,5. Подбросьте монету 10, 20, 30… раз и определите частоту случайного события «решка» после каждой серии испытаний.

Решение. К. Пуассон подбрасывал монету 24000 раз, решка выпала 11998 раз. Тогда