Задачи для самостоятельной работы

Задача 4.1. Стрелок, имеющий 5 патронов, стреляет в мишень до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Построить график функции распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение СВ – числа израсходованных патронов.

Задача 4.2. При массовом производстве полупроводниковых изделий вероятность брака равна 0,1. Какова вероятность того, что из 40 случайно взятых изделий 5 будут бракованными.

Задача 4.3. Сбой в работе ЭВМ происходит в среднем через 100 часов. Какова вероятность того, что при решении задачи в течение получаса не произойдет ни одного сбоя. Произойдет 1 или 2 сбоя?

Задача 4.4. Составьте и решите по одной задаче на использование законов распределения Бернулли и Пуассона.

5. Системы дискретных случайных величин

5.1. Характеристики систем дискретных случайных величин

Системой n дискретных случайных величин называется совокупность n дискретных CB (X_1,X_2,…,X_n), рассматриваемых совместно.

В частном случае при n=2 система двух дискретных CB (X,Y) геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (X,Y) на плоскости xOy или как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (X,Y) (Рисунок 5.1).

Рисунок 5.1. – Геометрическая интерпретация системы двух дискретных СВ

Функцией распределения системы n дискретных CB (X₁,…,X_n) называется вероятность совместного выполнения n неравенств X_k<x_k (k=1,2,…,n)

(5.1)

Геометрически функция распределения двух дискретных CB интерпритируется как вероятность попадания случайной точки (X,Y) в левую нижнюю часть плоскости, ограниченную (x, y).

Функцией распределения двух дискретных СВ F(x,y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X<x ,Y<y.

(5.1*)

Основными числовыми характеристиками системы двух дискретных СВ (X,Y) являются следующие.

1. Математические ожидания m_x и m_y, являющиеся координатами центра рассеивания системы:

(5.2)

где p_ij=p(X=x_i, Y=y_i).

2. Дисперсии D_x и D_y, характеризующие рассеивание случайной точки вдоль осей Ox и Oy:

(5.3)

3. Корреляционный момент (ковариация), характеризующая связь между дискретными CB X и Y

(5.4)

Для двух независимых дискретных CB: K_xy=0.

4. Коэффициент корреляции – безразмерная характеристика связи между двумя дискретными CB

(5.5)

где

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между дискретными СВ X и Y. Для любых CB ≤1.

Корреляционная матрица системы n дискретных СВ (x₁,…,x_n) – таблица, составленная из взятых попарно корреляционных моментов этих дискретных СВ. Так как ковариации недиагональных элементов таблицы равны: = , то корреляционная матрица является симметрической и может быть представлена в виде

(5.6)

Элементы главной диагонали корреляционой матрицы равны дисперсиям системы дискретных СВ: .

Нормированная корреляционная матрица – матрица, составленная из коэффициетов корреляции системы n дискретных СВ, взятых попарно:

(5.7)

где – коэффициент корреляции СВ .

При определении числовых характеристик двухмерных СВ следует применять формулы (5.2), (5.3).

Определение корреляционного момента системы СВ осуществляется с помощью формул (5.4), (5.5). Иногда для вычислений оказывается удобной формула

(5.8)

Пример 5.1. Изготавливаемые на автоматическом прессе втулки сортируются по отклонению от номинального размера диаметра на 4 группы со значениями и по овальности на 4 группы со значениями . В результате анализа большой партии изготовленных втулок получены вероятности совместного отношения диаметра (X) и овальности (Y). Распределение вероятностей предоставлено в таблице 5.1.

Найти математические ожидания, средние квадратичные отклонения СВ X и Y, их коэффициент корреляции.

Решение. 1). Математическое ожидание случайной величины X определяется через суммирование по строкам вероятностей в таблице 5.1

2). Математическое ожидание случайной величины Y вычисляется путем суммирования по столбцам вероятностей в таблице 5.1

Таблица 5.1. – Распределение вероятностей системы двух СВ

	0,01	0,02	0,03	0,04
0,02	=0,01	=0,02	=0,04	=0,04
0,04	=0,03	=0,24	=0,15	=0,06
0,06	=0,04	=0,10	=0,08	=0,08
0,08	=0,02	=0,04	=0,03	=0,02

3). Дисперсия СВ X:

4). Дисперсия СВ Y:

5). Средние квадратичные отклонения:

6). Ковариация СВ X и Y:

7). Коэффициент корреляции:

Можно сделать вывод, что между отклонением диаметра и отклонением овальности существует слабо выраженная обратно пропорциональная зависимость.