Свойства зависимых событий а1 и а2

• Вероятность совмещения

• Вероятность объединения

Пример 2.1. Определить вероятность того, что партия из 100 изделий, среди которых 5 бракованных, будет принята, если условия приема допускают не более 1 бракованного изделия из 50 проверенных.

Решение. Из 100 изделий 50 можно выбрать способами. Из 100–5 =95 исправных изделий 50 можно выбрать способами.

Пусть – вероятность того, что ни одно бракованное изделие не попадется при испытании

– вероятность того, что только одно бракованное изделие попадется при испытании

_{Тогда вероятность приема партии}

_{так как события А и В несовместны.}

_{Искомая вероятность приема партии}

_{Пример 2.2. Причинами неисправности двигателя автомобиля могут быть: А – нарушение топливоподачи, В – нарушения зажигания. При испытаниях вероятности в том и другом случае составили соответственно P(A)=0,1; P(B)=0,3. Найти вероятность отказа двигателя при очередном испытании.}

_{Решение. Событие А и В совместны. Следовательно, искомая вероятность}

_{Пример 2.3. Автомат заряжен пятью патронами, два из которых холостые. Производится два выстрела. Определить вероятность того, что оба выстрела будут холостые.}

_{Решение. Обозначим через событие А – первый холостой выстрел, через противоположное событие – боевой выстрел: Тогда}

_{Поскольку соотношение между холостыми и боевыми патронами меняется, то вероятность второго холостого выстрела (событие В) зависит от того, какое событие было перед ним. Следовательно, событие А и В зависимы. Условная вероятность события В\А}

_{Вероятность двукратного холостого выстрела – совмещение событий А и В для зависимых событий:}

Задачи для самостоятельной работы

_{Задача 2.1. Условием сдачи зачета является ответ на один из двух заданных вопросов. Студент не знает ответов на 8 вопросов из тех 40, которые ему могут быть предложены. Какова вероятность сдачи зачета?}

_{Задача 2.2. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных сопротивлений R и конденсатора С. Вероятность выхода их из строя соответственно равны P(R)=0,1 и P(C)=0,25. Определите вероятность выхода из строя электрической цепи.}

_{Задача 2.3. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более чем четыре раза.}

_{Задача 2.4. Среди файлов, хранящихся в каталоге, 15 % – исполняемые файлы, а остальные файлы – файлы данных. Среди файлов данных 80% защищены атрибутом Read Only. Какова вероятность того, что наудачу взятый файл окажется защищенным.}

2.2. Полная вероятность

Пусть событие А наступает только при условии появления одного из событий Н_j, образующих полную группу событий, т.е. если P(H_j)≥0, H_iH_j=Ø для всех i≠j и Н₁+Н₂+…Н_n=H. Тогда вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий (гипотез) H_j на соответствующую условную вероятность события А:

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Если события H_j образуют пространство Н (полную группу несовместных событий), то

Если вероятности до опыта были Р(Н_j), то с учетом появления в результате опыта события А условная вероятность Р(H_j\A) вычисляется по формуле Байеса

Формула Байеса нашла широкое применение при организации информационных каналов (по соотношению «сигнал/ шум» распознаются образы и ситуации (правильное обнаружение, ложная тревога, пропущенное обнаружение)). Естественным обобщением формулы Байеса на серию опытов являются цепи Маркова.

Пример 2.4. Известно, что 30% студентов регулярно готовятся к занятиям в течение семестра 25% – только периодически, а 45% серьезно изучают дисциплины только при подготовке к экзаменам. Вероятность успешной сдачи экзамена составляет соответственно для студентов первой группы 0,99; второй – 0,9; третьей – 0,75. Определить вероятность того, что случайно взятый студент имел «неуд» в прошлой сессии.

Решение. Обозначим: Н₁ – студент принадлежит к первой группе; Н₂ – студент принадлежит ко второй группе; Н₃ – студент принадлежит к третьей группе. Событие А – случайно взятый студент–задолжник.

Из условия задачи находим вероятности:

По формуле полной вероятности находим

Пример 2.5. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков соответственно равны 0,2; 0,4; 0,6. При одновременном выстреле всех стрелков в одну мишень в ней оказалось одно попадание. Определить вероятность того, что в мишень попал первый стрелок (второй, третий).

Решение. Пусть событие А состоит в том, что после трех выстрелов зафиксировано одно попадание. До опыта возможны следующие гипотезы, совместные с А:

Н₁ – попал первый стрелок, второй и третий промахнулся;

Н₂ – попал второй стрелок, первый и третий промахнулись;

Н₃ – попал третий стрелок, первый и второй промахнулись.

Другие гипотезы, несовместные с событием А после опыта становятся невозможными ( , ).

Применив теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим (p₁=0,2; p₂=0,4; p₃=0,6):

После опыта по формуле Байеса определяются условные вероятности при условии ( ), так как считается равновероятным сам факт попадания в мишень первым, вторым или третьим стрелком (события независимы). Тогда