Задача для самостоятельной работы

Задача 3.1. Произведено 500 измерений боковой ошибки наводки при стрельбе с самолета наземной цели. Результаты измерений сведены в статический ряд I_k:

Таблица 3.3. – Распределение вероятностей по статистическому ряду

Ik	-4;-3	-3;-2	-2;-1	-1;0	0;1	1;2	2;3	3;4
mk	6	25	72	133	120	88	46	10
pk	0,012	0,05	0,144	0,266	0,240	0,176	0,092	0,02

Здесь m_k – число наблюдений в данном интервале;

– соответствующие вероятности (частоты появления событий).

Требуется: а) построить гистограмму I_k=f(p_k). К чему в пределе стремится площадь гистограммы? Чему она равна?;

б) построить функцию распределения ошибки наводки (по точкам).

4. Законы распределения дискретных случайных величин

4.1. Числовые характеристики дискретных св

Определение распределения вероятностей дискретных СВ в виде вариационного ряда или функции распределения дает полное предоставление о СВ. В тоже время для практических расчетов в ряде случаев достаточного знать некоторые параметры этого распределения, называемые моментами.

Математическим ожиданием дискретной СВ M[Z] называется ее среднее значение, вычисленное по формуле

(4.1)

Начальным моментом k-го порядка α_k(Z) СВ Z называется математическое ожидание k-ой степени СВ:

Следовательно,

(4.2)

Центрированной СВ называется разность между СВ Z и ее математическим ожиданием

(4.3)

Центральным моментом k-го порядка СВ Z называется математическое ожидание центрированной СВ k–ой степени

(4.4)

Следовательно, математическое ожидание СВ Z есть ее первый начальный момент

Второй центральный момент является дисперсией

Дисперсией D[Z] СВ Z называется математическое ожидание от квадрата центрированной СВ:

(4.5)

или

.

(4.6)

Помни: математическое ожидание M[Z] – характеристика положения (среднее значение) СВ, дисперсия D[Z] – характеристика (мера) разброса СВ.

При практических расчетах вместо формулы (4.6) используют следующую формулу

(4.7)

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратичным отклонением (СКО)

где имеет размерность СВ.

4.2. Типовые законы распределения вероятностей дискретных св

Для определения вероятности события, заключающеюся в принятии дискретной СВ определенного значения p_i , необходимо установить: 1) закон распределения вероятностей; 2) его параметры (моменты).

Закон распределения может быть задан рядом распределения или аналитической зависимостью. Наиболее часто встречающиеся аналитические зависимости носят название типовых законов распределения. Для дискретных СВ типовыми являются законы Бернулли и Пуассона.

а). Закон Бернулли

Дискретная СВ Z, выражающая число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А одинакова и равна p, подчиняется закону распределения Бернулли. Вероятность возможного значения z=k определяется по формуле

(4.8)

где q=1-p – вероятность непоявления события.

б) Распределение Пуассона (закон редких событий)

Если вероятность события мала, а число испытаний велико, то применение формулы Бернулли затруднительно. В этом случае используется ее предельное значение – распределение Пуассона.

Вероятность появления события А ровно k раз в n независимых испытаниях определяется приближенно по формуле:

(4.9)

где λ=np – параметр распределения Пуассона.

Пример 4.1. Ставятся 4 независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина Z – число появления события А в четырех опытах. Построить ряд и функцию распределения случайной величины Z. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Случайная величина Z может принимать значения {0,1,2,3,4}. Вероятность P(z=z_i) вычисляется по формуле Бернулли (p=0,4)

В результате вычислений получим следующий ряд распределения СВ (таблица 4.1).

Таблица 4.1. – Ряд распределения СВ

zi	0	1	2	3	4
Ci4	1	4	6	4	1
pi	0,1296	0,3456	0,3456	0,1536	0,0256

Графики вариационного ряда и функции распределения вероятностей представлены на Рисунках 4.1, 4.2.

Рисунок 4.1. – Вариационный ряд Рисунок 4.2. – Функция распределения

Математическое ожидание СВ Z и дисперсия вычисляются по формулам (4.1), (4.7):

Среднее квадратичное отклонение равно

Пример 4.2. В организации имеются 100 компьютеров. Вероятность безотказной работы каждого компьютера равна 0,98. Какова вероятность отказа: а) двух компьютеров одновременно; б) не менее двух компьютеров.

Решение. Отказ является событием, противоположным безотказной работе. Его вероятность для каждого компьютера равна

p=1-q=1-0,98=0,02 , n=100.

Применим закон Пуассона (формула (4.9))

где

а). Вероятность отказа двух компьютеров одновременно равна

б). Вероятность отказа не менее двух компьютеров