4.1. Постановка задачи

Рассматривается динамическая система, представленная следующей моделью в пространстве состояний в непрерывном случае

(4.1)

где - вектор состояния, - входное возмущение, - вектор управляемого выхода, - известные матрицы с непрерывными и ограниченными элементами при всех , T>0 заданная константа (при рассмотрении на конечном интервале) или T= (при рассмотрении на бесконечном интервале).

Нелинейная векторная функция удовлетворяет условию, заданному в виде:

(4.2)

где - известная матрица с непрерывными и ограниченными элементами при всех . Здесь и далее означает евклидову норму вектора, - заданный параметр.

Предположим, что неопределенные возмущения являются непрерывными ограниченными по L₂ норме функциями времени:

, (4.3)

где и - известные константа и функция времени соответственно.

Множество таких функций w обозначим W.

Важное отличие от рассмотренного в предыдущих разделах случае является то, что здесь рассматривается другой класс возмущений, т.е. возмущения с конечной энергией (удовлетворяющие интегральному ограничению (4)).

Для рассматриваемой системы ставятся задача анализа ограниченности на конечном интервале относительно заданных множеств начальных отклонений и допустимых текущих состояний.

4.2. Задача ограниченности относительно заданных множеств

Пусть заданы в виде эллипсоидов , , (R₀, R(t) – известные симметрические положительно определенные матрицы) – соответственно множество начальных состояний, множество допустимых состояний в моменты времени , а также множество допустимых внешних возмущений W.

Определение 4.1. Будем говорить, что система (1) обладает на свойством ограниченности относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] (при отсутствии неопределенных внешних возмущений – свойством устойчивости относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t))]), если для всех существуют на решения системы (1) с начальными данными , для которых имеет место при всех и всех нелинейностях из (4.2) (соответственно при всех и всех нелинейностях их (4.2)).

Отметим, что определении 1, в отличии от общепринятых определений устойчивости и ограниченности, указываются конкретные множества начальных данных и множества, которым должны принадлежать траектории системы с этими начальными данными. В этом отношении определения аналогичны определениям устойчивости и ограниченности на конечном интервале времени, активно изучаемые в последние годы [21-24 и др.].

Теорема 4.1. Система (4.1) является ограниченной на интервале относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W], если при некотором существуют положительно определенные симметрические матрицы , и параметры , удовлетворяющие дифференциальному линейному матричному неравенству

, (4.4)

и следующим ограничениям

, . (4.5)

При отсутствии неопределенных внешних возмущений система будет обладать на интервале свойством устойчивости относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t))], если существуют симметрическая положительно определенная матрица и параметры , удовлетворяющие дифференциальному линейному матричному неравенству

, (4.6)

и ограничениям (4.5).

Следующая лемма распространяет достаточное условие ограниченности линейной системы на системы вида (4.1) с нелинейностями из (4.2), при внешних возмущениях из (4.3).

Лемма 4.1. Для того чтобы система (4.1) являлась ограниченной относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] достаточно, чтобы существовала симметрическая матрица P(t) такая, что

(4.7)

, (4.8)

. (4.9)