4.5. Результаты решения задач синтеза управления, обеспечивающего ограниченность на конечном интервале для примера 2-го порядка

Рассмотрим снова пример из п.3.1, в котором вместо конкретной нелинейности присутствует неопределенная нелинейность , удовлетворяющая неравенству (3.2) с параметрами и и . Пусть заданы матрицы , , определяющие множество начальных отклонений и множество допустимых траекторий. На основании теоремы 4 для синтеза управления, обеспечивающего ограниченность относительно заданных множеств , была решена задача минимизации следа матрицы Q эллипсоида, ограничивающего выход при ограничениях (4.4). В результате получены коэффициенты K₂₁=[–7.5929 –25.2643] регулятора и матрица инвариантного эллипсоида состояний, минимизирующая след матрицы ограничивающего выход эллипсоида, при следующих значениях параметров: P₁=1, α= 0.1, β₁ =0.0433, ₁ =1. При этих значениях условие (4.5) удовлетворяется на любом заданном интервале, как конечном, так и бесконечном. Поэтому полученный регулятор обеспечивает ограниченность замкнутой системы относительно заданных множеств и на любом заданном интервале. На рисунке 4.1 представлен переходный процесс в системе с синтезированным регулятором при действии возмущения. Матрица замкнутой системы имеет собственные значения [–0.2264 ± 0.9046i].

Также была решена задача минимизации следа матрицы эллипсоида, ограничивающего выход при ограничениях (4.4) при заданных P₁=10, ₁ =1, d=1. В результате получены коэффициенты K₂₂=[–3.2964 –10.1826] регулятора и матрица инвариантного эллипсоида состояний, минимизирующая след матрицы ограничивающего выход эллипсоида, при следующих значениях параметров: α= 0.1, β₁ = 0.2879. При этих значениях условие (4.5) удовлетворяется при любом заданном интервале, как конечном, так и бесконечном. Полученный регулятор обеспечивает ограниченность замкнутой системы относительно заданных множеств и на любом заданном интервале. На рисунке 4.2 представлен переходный процесс в системе с синтезированным регулятором при действии возмущения. Матрица замкнутой системы имеет собственные значения [–0.3347±9.8479].

Рисунок 4.1. Переходный процесс в системе с регулятором K₂₁ с при начальных отклонениях x₀=[5 2] и действии возмущения w=sin(cos(3*t)).

Рисунок 4.2. Переходный процесс в системе с регулятором K₂₂ с при начальных отклонениях x₀=[5 2] и действии возмущения w=sin(cos(3*t)).

Ниже представлен текст программы для синтеза регулятора, обеспечивающего ограниченность замкнутой системы.

%-----модель маятника с неопределенной нелинейностью -------

%-----синтез из условия ограниченности на конечном интервале

%--Исходные данные --

global ABK D CF q bet mu1 F

n=2;n1=n;

w=0.5; mu1=1;

A = [0 1; 0 0];

B1 = [0; 1];

D=[0; 1]/10;

C=[1 0;0 1;0 0];

CF=[1 0]; Bf=[];

R0=eye(2)/500;

S0=eye(2)*0.1;

R=eye(2)/50;

B2=[0; 0;1]/100;

D2=[0; 1;0]/100;

F=[0; -w*w];

% Решение линейных матричных неравенств (Регулятор по состоянию для ограниченности на конечном интервале, стационарный случай)

min_tr_Q=1.e7;

alf=0.1;

gam1=1;

p1=10;

cvx_begin sdp

variable Qs(n1, n1) symmetric;

variable Ys(1, n1) ;

variable bet1 ;

variable Zs(1,1) symmetric;

% variable gam1;

%variable p1;

minimize( trace(C*Qs*C'+C*Ys'*B2'+B2*Ys*C'+B2*Zs*B2'))

%minimize( trace(Qs))

%minimize( gam1)

subject to

%gam1>0;

Qs >= R0; Qs<=R;

[A*Qs + Qs*A'+B1*Ys+Ys'*B1'+bet1*(F*F')+alf*Qs D*p1 Qs*CF';

p1*D' -gam1*p1 0;

CF*Qs 0 -bet1/mu1]<= 0; %условие асимптотич устойчивости

[Zs Ys;

Ys' Qs]>=0;

cvx_end

Qsf2 = double(Qs)

Y2=double(Ys)

K2=Y2/Qsf2

Z2=double(Zs)

%trZ=trace(C*Qsf2*C'+C*Y2'*B2'+B2*Y2*C'+B2*Z2*B2');

trZ=trace(Qsf2);

ABK2=A+B1*K2;