3.1. Постановка задачи

Рассматривается динамическая система, представленная следующей моделью в пространстве состояний в непрерывном случае

(3.1)

где - вектор состояния, - входное возмущение, - вектор управляемого выхода, - известные матрицы с непрерывными и ограниченными элементами при всех , T>t₀ заданная константа (при рассмотрении на конечном интервале) или T= (при рассмотрении на бесконечном интервале).

Нелинейная векторная функция удовлетворяет коническому (обобщенному секторному) условию, заданному в виде:

(3.2)

где - известные матрица с непрерывными и ограниченными элементами при всех . Здесь как и раньше означает евклидову норму вектора, - заданные параметры.

Предположим также, что для внешних возмущений, являющихся непрерывными функциями, выполняется ограничение (1.5).

Предполагается, что пара (A(t),D(t)) –управляема, а матрица C(t) является матрицей полного ранга строк.

Требуется на заданном интервале времени получить эллипсоидальную оценку множества состояний для процессов системы (3.1), начинающихся из заданного эллипсоида при нелинейностях, удовлетворяющих (3.2) и неопределенных возмущениях из (1.5). Кроме того задача состоит в синтезе закона управления в виде обратной связи по состоянию (1.6) или по выходу ( по состоянию наблюдателя), стабилизирующего замкнутую систему и подавляющего начальные отклонения и воздействие внешних возмущений в смысле минимальности ограничивающего эллипсоида для выхода z при любой нелинейности из (3.2).

3.2. Оценивание состояния системы с неопределенными нелинейностями и внешними неопределенными ограниченными возмущениями

Оценивание состояния системы (3.1) с нелинейностями из (3.2) и неопределенными возмущениями из (1.5) будет осуществляться в виде эволюционирующего инвариантного эллипсоида, матрица которого будет определяться по частному решению матричной системы сравнения или дифференциальных линейных матричных неравенств.

Теорема 3.1. Эллипсоид , где есть решение матричной системы дифференциальных уравнений

(3.3)

является инвариантным для траекторий системы (3.1), стартующих из начального эллипсоида .

Доказательство теоремы 3.1. Определим функцию , . Для любого имеет место . Для того чтобы траектории x(t)= системы (3.1) не покидали эллипсоид , достаточно потребовать, чтобы при , при всех допустимых внешних возмущениях из (1.5) и при нелинейностях из (3.2) выполнялось

,

где - производная функции в силу системы (3.1). Вычислим

.

Далее, используя очевидное неравенство

,

справедливое для любых векторов и любого скаляра или любой непрерывной функции времени , получаем

,

где - скаляры или непрерывные функции времени. С учетом ограничений на нелинейности (3.2) и внешние возмущения (1.5), а также предположения отсюда имеем:

при условии и . Последнее неравенство записывается в виде . Тогда можно выбрать .

Будем определять матрицу Q(t) из матричного дифференциального уравнения

,

где .

Умножая это уравнение слева и справа на матрицу Q(t)>0, вводя обозначение и учитывая, что , приходим к уравнению (3.3). Теорема доказана.

Теорема 3.2. Эллипсоид является инвариантным для решений системы (3.1) , если его матрица удовлетворяет дифференциальным линейным матричным неравенствам (ДЛМН)

. (3.4)

при всех и некоторых .

Доказательство теоремы 3.2 аналогично доказательству теоремы 3.1, только определять матрицу Q(t) будем не из уравнения (3.3) а из дифференциального матричного неравенства

, (3.5)

где , . Воспользовавшись леммой дополнения Шура, из (3.5) имеем

Еще дважды воспользовавшись леммой дополнения Шура, приходим к ДЛМН (3.4).

Следует отметить, что в автономной линейной системе инвариантный эллипсоид с постоянной матрицей Q^*, определяемой на основе решения алгебраического уравнения Ляпунова (или разрешимости ЛМН, полученных из (3.4) при dQ/dt=0) будет являться притягивающим, т.е. множеством, к которому будут стремиться все решения с любыми начальными данными и при внешних возмущениях, удовлетворяющих (1.5). В нелинейной автономной системе инвариантный эллипсоид будет притягивающим только для решений, с начальными данными, принадлежащими области притяжения некоторого предельного множества, которое будет принадлежать указанному инвариантному эллипсоиду.

Замечание 3.1. Матричная система дифференциальных уравнений (3.3) является матричной системой сравнения (МСС) для исходной нелинейной системы с неопределенными возмущениями, так как правая часть ее удовлетворяет условию квазимонотонности по Q относительно конуса G₊. Поэтому она обладает следующими свойствами:

1). Положительность решений – если (или ), то (соответственно ) для всех .

2) Монотонность решений – для любых таких, что имеет место для всех .

В автономном случае – свойствами:

3) Инвариантность множества , где : множество в пространстве матриц G₊ положительно инвариантно для решений МСС с . Кроме того, найдется такое, что имеет место

.

4) Сходимость решений: если матрица A+BK является гурвицевой, т.е удовлетворяет условию , где - собственные значения матрицы замкнутой системы, а параметр q удовлетворяет условию , то существует предел , к которому сходятся решения но не для любых , как было в случае линейных систем, а только для некоторых . В этом случает матрица будет определять предельный инвариантный эллипсоид для решений исходной системы (1.4) с неопределенными возмущениями из (1.5).

Замечание 3.2. Указанные свойства имеют место для любой автономной системы с неопределенными нелинейностями из (3.2) и неопределенными ограниченными возмущениями из (1.5). Так же как в случае линейных систем, они позволяю контролировать процесс получения гарантированных оценок при вычислениях.