1. Пример решения задач оценивания состояния и синтеза управления в виде обратной связи по состоянию для простейшей системы (модели колебаний маятника)

1.1. Исходная модель и постановка задачи

В качестве примера рассмотрим модель возмущенных колебаний математического маятника

с управлением u и ограниченным внешним возмущением w (при произвольных углах отклонения от положения равновесия). Полагая

,

приходим к системе

(1.1)

которую будем рассматривать как систему

(1.2)

где - вектор состояния, - входное возмущение, - вектор управляемого выхода, - известные постоянные матрицы, , T>t₀ заданная константа (при рассмотрении на конечном интервале) или T= (при рассмотрении на бесконечном интервале).

В качестве выхода системы, чтобы избежать больших значений управления, выбран вектор . Также будет учитываться неопределенность в начальном состоянии системы, задаваемая в виде эллипсоида с матрицей , т.е.

(1.3)

При этом для рассматриваемой системы (1.1) определим матрицы в (1.2)

.

Линеаризованная система относительно положения равновесия x=0 получается из исходной заменой нелинейности на :

(1.4)

где матрица A определяется как .

Предположим, что неопределенные возмущения являются непрерывными функциями, ограниченными в каждый момент времени:

. (1.5)

Множество таких функций обозначим как W=E_w(I).

Обозначим G₊ - множество симметрических (S=S^T) неотрицательно определенных (S>0) матриц, и G⁺ - множество симметрических (S=S^T) положительно определенных (S>0) матриц. Известно, что G₊ - есть телесный и воспроизводящий конус, с помощью которого вводится частичный порядок в пространстве симметрических матриц .

Задача состоит в синтезе управления в виде обратной связи по состоянию

, (1.6)

стабилизирующего замкнутую систему и подавляющего начальные отклонения и воздействие внешних возмущений в смысле минимальности ограничивающего эллипсоида для выхода z.

Задача синтеза сводится к оптимизации критерия при ограничениях в виде линейных матричных неравенств. В качестве критерия обычно берется след матрицы, определяющей размер инвариантного или ограничивающего выход эллипсоида.

1.2. Синтез модального регулятора с заданным расположением собственных значений матрицы замкнутой системы

Задается расположение собственных значений (корней характеристического полинома) p=[-0.8 -3] матрицы A+B*K замкнутой системы. С использованием функции place пакета Matlab производится синтез регулятора u=Kx в форме обратной связи по состоянию

K=[];

p=[-0.8 -3];

K=-place(A,B1,p);

ABK=A+B1*K;

eig(ABK)

В результате получены коэффициенты регулятора

K =[ –2.7500 –4.0000].

При этом матрица замкнутой системы

имеет заданные собственные значения [–1.0000 –3.0000]. Следовательно, линеаризованная система, замкнутая с модальным регулятором асимптотически устойчива.

1.3. Оценивание состояния линеаризованной системы с модальным регулятором при внешних неопределенных ограниченных возмущениях

Пусть в начальный момент времени состояние системы является неопределенным, известно, что оно принадлежит эллипсоиду (1.3) где – заданная положительно определенная симметрическая матрица.

Предполагается, что пара (A,D) –управляема, а матрица C является матрицей полного ранга строк.

Требуется на заданном интервале времени получить эллипсоидальную оценку множества состояний для процессов системы (1.4), начинающихся из заданного эллипсоида при и неопределенных возмущениях из (1.3) а также установить ограниченность решений исходной системы на конечном интервале относительно заданных множеств.

Пусть заданы в виде эллипсоидов , , (R₀, R(t) – известные симметрические положительно определенные матрицы) – соответственно множество начальных отклонений, множество допустимых состояний в моменты времени и множество допустимых внешних возмущений W.

Определение 1. Будем говорить, что система (1) обладает на свойством ограниченности относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] (при отсутствии неопределенных внешних возмущений – свойством устойчивости относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t))]), если для всех существуют на решения системы (1) с начальными данными , для которых имеет место при всех (соответственно при всех .

Оценка вектора состояния будет находиться в виде эволюционирующего эллипсоида, инвариантного для процессов системы (1.1).

Напомним, что инвариантным эллипсоидом для динамической системы называется эллипсоид

, (1.7)

обладающий следующим свойством: любая траектория системы , исходящая из точки , в любой момент времени t принадлежит этому эллипсоиду, т.е. .

Инвариантные эллипсоиды характеризуют внешнюю оценку области достижимости в текущий момент времени t при влиянии неопределенных внешних возмущений w(t) на траектории системы (1.4). В этой связи нас будет интересовать минимальные (в некотором смысле) инвариантные эллипсоиды, содержащие траектории или выход z(t) рассматриваемой системы.

Теорема 1.1. Эллипсоид , где есть решение матричной системы дифференциальных уравнений

(1.8)

является инвариантным для траекторий системы (1.2), стартующих из начального эллипсоида , а эллипсоид является в каждый момент времени ограничивающим для вектора выхода z(t). Если, кроме того, матрица удовлетворяет дополнительно ограничениям и для всех , где R₀ и R(t) – заданные положительно определенные симметрические матрицы, то данный регулятор обеспечивает ограниченность замкнутой системы относительно множеств [E(R), E_w(I), E(R(t))] при всех возмущениях из (1.5).

Замечание 1. Матричная система дифференциальных уравнений является системой сравнения (МСС) для линеаризованной системы с неопределенными возмущениями, так как правая часть ее удовлетворяет условию квазимонотонности по Q относительно конуса G₊.

Можно показать, что МСС обладает следующими свойствами:

1). Положительность решений – если (или ), то (соответственно ) для всех .

2) Монотонность решений – для любых таких, что имеет место для всех .

3) Инвариантность множества , где : множество в пространстве матриц G₊ положительно инвариантно для решений МСС с . Кроме того, найдется такое, что имеет место

.

4) Сходимость решений: если матрица A+BK является гурвицевой, т.е удовлетворяет условию , где - собственные значения матрицы замкнутой системы, а параметр q удовлетворяет условию , то существует предел , к которому сходятся решения для любых . В этом случает матрица будет определять предельный инвариантный эллипсоид для решений исходной системы (1.4) с неопределенными возмущениями из (1.5).

Замечание 2. Указанные свойства имеют место для любой линейной автономной системы с неопределенными ограниченными возмущениями. Они позволяю контролировать процесс получения гарантированных оценок при вычислениях.

Замечание 3. При каждом фиксировано q согласно свойству 4) может быть найдена матрица предельного инвариантного эллипсоида, который характеризует точность стабилизации рассматриваемой замкнутой системы (1.4) при неопределенных ограниченных возмущений. Для нахождения минимального предельного инвариантного эллипсоида достаточно выполнить численное интегрирование матричной системы сравнения при различных значения параметра q из диапазона , и выбрать то значение q, при котором достигается (минимум следа матрицы ).

Задача нахождения минимального предельного инвариантного эллипсоида может быть сведена к задаче оптимизации с линейными матричными неравенствами.

Теорема 1.2. Решение задачи

при ограничениях Q>0,

(1.9)

где минимизация проводится по матричной переменной и скалярной параметру q>0, определяет матрицу ограничивающего эллипсоида для вектора состояния x(t), и матрицу ограничивающего эллипсоида для вектора выхода z(t) системы (1.4).

Доказательство проводится с использованием свойств 3),4) МСС (1.8). При этом условие из свойства 4) представляется эквивалентным по лемме дополнения Шура условием (1.9).

Далее приводится фрагмент текста программы для решения задачи оптимизации (с помощью программного обеспечения CVX решения линейных матричных неравенств) и нахождения минимального инвариантного эллипсоида путем перебора параметра q из заданного диапазона.

%-----модель математического маятника -------

% Примеры синтеза оценивания состояния и моделирования

%--Исходные данные --Линеаризованная модель с неопределенными возмущениями

% вектор состояния x=(x1,x2)T

n=2;

m=1;

l=1;

n1=n;

w=0.5;

mu1=1;

A = [0 1; -w*w 0];

B1 = [0; 1];

D=[0; 1];

C=[1 0;0 1;0 0];

B2=[0; 0;1];

eig(A)

p=[-1. -3];

K0=-place(A,B1,p);

ABK0=A+B1*K0;

% Нахождение предельного инвариантного эллипсоида замкнутой системы с

% матрицей A+B*K0 и оптимизацией по параметру q;

A0=ABK0;

min_tr_Q=1e+4;

for q = 0.1:0.002:1;% 0.944:0.002:0.944

cvx_begin sdp

variable Qs(n, n) symmetric;

minimize( trace(Qs))

subject to

Qs >= eye(2)*10e-5;

[A0*Qs + Qs*A0'+q*Qs D;

D' -q*eye(l)]< 0; %условие асимптотич устойчивости

cvx_end

Qsf = double(Qs)

trQ=trace(Qsf);

if min_tr_Q > trQ

min_tr_Q = trQ;

Q_min = Qsf;

q_min = q

end;

end;

Q0 = Q_min;

q0=q_min;

С помощью данной программы в пакете Matlab была получена матрица минимального предельного инвариантного эллипсоида

при , q^*=0.944 для системы (1.4).

Построение оценок состояния линеаризованной системы с неопределенными ограниченными возмущениями производилось на основе теоремы 1.1. Для численного интегрирования МСС (1.8) на заданном интервале [t₀,t_k] использовалась стандартная функция пакета Matlab ode15s, вызов которой показан в следующем фрагменте программы.

% Оценивание состояния маятника с неопределенными возмущениями с помощью

% матричной системы сравнения

t0=0; tk=10;

Q=eye(1.2)*2;

vec_Q = [Q(:,1); Q(:,2)];

[t,H] =ode15s(@(t,vec_Q) Prav_Lin_Mayat_1(t,vec_Q,A0,D,q0),[t0 tk],vec_Q);

MQ = [];

nh=length(H(:,1));

t(nh)

nn=1;%round(nh/20);

figure(1)

for i = 1:nn:nh

MQ = [H(i,1) H(i,2); H(i,3) H(i,4)];

MQ=(MQ+MQ')/2;

E = ellipsoid(MQ);

%pEs = projection(E, BB);

plot(E, 'b');grid on;hold on;

end;

plot(E, 'r');grid on;hold on;

Здесь функция Prav_Lin_Mayat_1 служит для вычисления правой части МСС (1.9).

function dQ=Prav_Lin_Mayat_1(t,vec_Q,A,D,q)

% Вычисление правой части матричной системы сравнения и определение матрицы

% коэффициентов усиления регулятора в текущий момент времени

Q = [ vec_Q(1) vec_Q(2); vec_Q(3) vec_Q(4)];

dQQ= A*Q + Q*A' +q*Q+(D*D')/q;

dQQ=(dQQ+dQQ')/2;

dQ = reshape(dQQ,4,1);

На рисунке 1.1 показаны сечения эволюционирующего инвариантного эллипса, полученные на основе численного решения МСС с начальной матрицей

,

определяющей начальный эллипсоид (показан штриховой линией). Решение сошлось за T<10c к предельному инвариантному эллипсу с матрицей MQ^*

,

которая практически совпадает с матрицей минимального предельного инвариантного эллипса.

Рисунок 1.1. Эволюционирующий инвариантный эллипс для решений линеаризованной системы с модальным регулятором.