1.2 Практична частина Практичне заняття №1

Тема: Вектори. Операції над векторами.

Література: [1,2].

Ціль: з’ясувати, які є правила складання двох векторів, обчислення проекції та направляючих косинусів вектора, як використовується властивість скалярного добутку двох векторів для знаходження площі трикутника на них побудованого.

План.

1. Операції над векторами.

2. Скалярний добуток векторів.

Операції над векторами.

Завдання №1. Знайти довжину медіани , якщо координати вершин трикутника . Зобразимо це на малюнку:

Розв'язок: Використаємо формули ділення відрізка з координатами точкою на частини у відношенні .

Із елементарної математики відомо, що медіана ділить сторону на рівні відрізки, тобто . Тоді координати точки знаходимо по формулам:

Вектор , тоді:

.

Відповідь: довжина медіани .

Завдання №2. У трикутній піраміді відомі вектори , , . Знайти вектор , якщо точка є центром мас трикутника . Зробимо малюнок.

Розв'язок: Із елементарної математики відомо, що центр мас трикутника знаходиться на перетину медіан, причому вектор . По правилу трикутника додавання векторів маємо:

.

Так як , то

.

Відповідь: .

Завдання №3. Дано вершини трикутника . Обчислити довжину бісектриси його внутрішнього кута при вершині . Зробимо малюнок.

Розв’язок: Розкладемо вектор по базису із векторів і . Нехай і – одиничні вектори (орти). Тоді вектор направлений по діагоналі ромба (паралелограма, довжини сторін якого однакові, в нашому випадку, дорівнюють одиниці), що співпадає з бісектрисою . Тому

З іншого боку по правилу трикутника . Так як , тоді

В силу єдиності розкладу вектора по базису із векторів і і попередніх формул маємо

.

Тоді вектор можна переписати як

.

Де одержимо формулу вектора бісектриси внутрішнього кута при вершині . Знаходимо вектори:

Відповідь: довжина бісектриси дорівнює .

Скалярний добуток векторів.

Завдання №4. Вектор перпендикулярний векторам , і задовольняє умові . Знайти координати вектора .

Розв’язок: Нехай координати вектора . Тоді за умовою ортогональності векторів:

Скалярним добутком в координатній формі буде система:

Розв’яжемо систему по правилу Крамера.

, , .

Відповідь: .

Завдання №5. Дано точки . На осі абсцис знайти таку точку , щоб кут .

Розв’язок: Нехай координати точки , тоді і . Використаємо умову ортогональності двох векторів в координатній формі і . Тобто нашій умові задовольняють дві точки з координатами

Відповідь: точки

Завдання №6. Дано два вектори . Обчислити проекцію кожного з них на вісь другого вектора.

Розв'язок: Із визначення скалярного добутку двох векторів маємо:

,

аналогічно . Тоді

Відповідь: .

Завдання до практичного заняття №1

Завдання №1

Знайти довжину медіани , якщо координати вершин трикутника:

1.1 .	1.6
1.2 .	1.7
1.3	1.8
1.4	1.9
1.5	1.10

Завдання №2

У трикутній піраміді відомі вектори , , . Знайти вектор , якщо точка є центром мас трикутника .

2.1 , , .	2.6 , , .
2.2 , , .	2.7 , , .
2.3 , , .	2.8 , , .
2.4 , , .	2.9 , , .
2.5 , , .	2.10 , , .

Завдання №3

Дано вершини трикутника . Обчислити довжину бісектриси його внутрішнього кута при вершині .

3.1	3.6
3.2	3.7
3.3	3.8
3.4	3.9
3.5	3.10