Перелік кривих другого порядку

№	Канонічне рівняння	Схематичне зображення	Назва
1			коло
2			еліпс
3			гіпербола
4			парабола
5			парабола
6			точка О(0,0)

Загальне рівняння кривої другого порядку щодо прямокутних декартових координат х и у має вигляд:

.

Формули перетворення координат при повороті осей на кут :

(2.14)

де

(2.15)

(2.16)

(2.17)

Запам’ятати!

Якщо співвідношення коефіцієнтів загального рівняння кривих 2-го

порядку має вигляд:

- то рівняння еліптичного типу;

- то рівняння гіперболічного типу;

- то рівняння параболічного типу

2.2 Практична частина Практичне заняття № 1

Тема: Рівняння прямої на площині.

Література: [4], розділ 1, § 2,стор. 22-24,

[6], глава1, § 2, стор. 17-24.

Ціль: навчитися знаходити різні типи рівнянь прямої на площині.

План.

1. Загальне рівняння й рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

2. Рівняння прямої, що проходить у заданому напрямку.

3. Рівняння прямої у відрізках.

4. Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

6. Нормальне рівняння прямої на площині

Загальне рівняння й рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Завдання № 1. Знайти кут, який створює з віссю Ох пряма

.

Розв'язок: Рівняння прямої надане у загальному вигляді. Приведемо його до вигляду рівняння з кутовим коефіцієнтом (2.2)

.

Знайдемо чому дорівнює . Якщо k=tg =1, тоді

.

Відповідь: кут, який створює з віссю Ох пряма, дорівнює 45 градусам.

Завдання № 2. Скласти загальні рівняння прямих, які паралельні бісектрисі першого координатного кута та відтинають на осі Оу відрізки .

Розв'язок: Шукані прямі паралельні бісектрисі першого координатного кута, а значить теж складають з віссю Ох кут .Тоді їх кутові коефіцієнти дорівнюють: . Відрізки, які відтинають прямі на осі Оу дорівнюють , отже, згідно з рівнянням із кутовим коефіцієнтом (2.2) одержимо рівняння

.

Відповідь: загальні рівняння прямих мають вигляд

.

Рівняння прямої, що проходить у заданому напрямку.

Завдання № 3. Записати рівняння прямої, яка проходить через т.О(0,0) та створює з віссю Ох кут .

Розв'язок. Використаємо рівняння (2.3). Згідно з ним

Відповідь: рівняння прямої має вигляд

Завдання № 4. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку .М (-1,5) та створює з віссю Ох кут .

Розв'язок. Пряма створює з віссю Ох кут , її кутовий коефіцієнт не існує: . Але відомо, що пряма проходить паралельно осі Оу через точку М(-1,5), де х= -1.

Відповідь: рівняння прямої має вигляд: х= -1.

Рівняння прямої у відрізках.

Завдання № 5. Знайти величини відрізків, які відсікає на осях координат пряма

.

Розв'язок: Рівняння прямої надане в загальному вигляді. Приведемо його до вигляду рівняння у відрізках (2.4) та знайдемо, чому дорівнюють відрізки .

.

Рівняння прямої у відрізках має вигляд

,

значить .

Відповідь: величини відрізків дорівнюють .

Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Завдання № 6. Складіть рівняння прямої, що проходить через дві точки

.

Розв'язок. Згідно рівняння (2.5), одержимо

.

Відповідь: рівняння прямої має вигляд .

Нормальне рівняння прямої на площині.

Завдання № 7. Привести до нормального вигляду рівняння прямої

.

Розв'язок. Для приведення даного рівняння до нормального вигляду (2.5) знайдемо множник, що нормує, по формулі (2.6), обираючи знак плюс, тому що в цьому випадку :

.

Множачи надане рівняння на , одержимо

.

Відповідь: нормальне рівняння прямої має вигляд .

Завдання № 8. Пряма відстоїть від початку координат на відстані р= . Кут, який утворює перпендикуляр р до прямої з позитивним напрямком осі Ох . Записати нормальне рівняння прямої. Записати загальне рівняння прямої.

Розв'язок. Згідно з рівнянням (2.5):

.

Нормальне рівняння шуканої прямої має вигляд

.

Множачи його на , одержимо загальне рівняння шуканої прямої

.

Відповідь: нормальне рівняння прямої: , загальне рівняння прямої: .