Завдання № 7

Обчислити площу трикутника , якщо відомі координати його вершини.

1. .	16.
2. .	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

Анотація до акр Тест містить сім завдань. Критерій оцінювання знань студентів визначається ваговим коефіцієнтом цих завдань:

№ завдання	Коефіцієнт
1	0,08
2	0,08
3	0,1
4	0,14
5	0,2
6	0,2
7	0,2

Всі завдання в основному мають чотири варіанти відповідей, серед яких є одна вірна.

Перше і друге завдання виконуються з використанням формул знаходження координат вектора за координатами точок початку і кінця, а також за допомогою відповідних формул проекції та направляючих косинусів вектора. Для третього ж правило суми двох векторів.

Для четвертого завдання використовується формули з фізики для знаходження рівнодіючою сили трьох сил і скалярне множення для знаходження роботи.

При виконанні п’ятого і шостого завдання необхідно знати умови компланарності і ортогональності векторів, які виводяться з відомих формул скалярного і векторного множення векторів. В сьомому завданні використовується одне з властивостей векторного множення, про площу трикутника побудованого на двох векторах.

1.6 Приклад тесту до АКР

Завдання № 1

Знайти проекцію вектора. на вісь , якщо:

Варіанти відповідей:

1) –7; 2) 6; 3) –4; 4)7.

Завдання № 2

Знайти направляючі косинуси. Для вектора , якщо:

Варіанти відповідей:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Завдання № 3

Знайти довжину більшої діагоналі паралелограма, побудованого на векторах і , якщо:

Варіанти відповідей:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Завдання № 4

Обчислити роботу рівнодіючої сили , прикладеної до матеріальної точки, яка під дією сили рухається прямолінійно від А до В, якщо .

; ; ; ; .

Варіанти відповідей:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Завдання № 5

Перевірити, чи будуть два вектори і : , .

а) колінеарними;

б) не колінеарними;

в) ортогональними;

г) не ортогональними.

Варіанти відповідей:

1) б, г; 2) а, г; 3) в, г; 4) а, б.

Завдання № 6

Перевірити, чи будуть три вектори : , , .

а) компланарні,

б) не компланарні,

в) утворюють базис в ,

г) не утворюють базис в .

Варіанти відповідей:

1) б, в; 2) а, г; 3) г, б; 4) а, в.

Завдання № 7

Обчислити площу трикутника , якщо відомі координати його вершин.

.

Варіанти відповідей:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2 АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

2.1 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Загальне рівняння прямої на площині визначається формулою

(2.1)

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k має вигляд:

(2.2)

де k=tg , – кут нахилу прямої до позитивної півосі Ох, b– відрізок, що відсікає пряма на осі Оу.

Р івняння прямої, що проходить через точку , й має кутовий коефіцієнт к (рівняння прямої, що проходить у заданому напрямку):

. (2.3)

Рівняння прямої у відрізках записується у вигляді

, (2.4)

де а- відрізок, що відсікає пряма на осі Ох, b– відрізок, що відсікає пряма на осі Оу.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки має вигляд

. (2.5)

Н ормальне рівняння прямої має вигляд

. (2.6)

Тут р- довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, - кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осі Ох (Рисунокунок 2.1). Нормальне рівняння характеризується тим, що сума квадратів його коефіцієнтів при х и у дорівнює 1, а вільний член від'ємний.

Загальне рівняння прямої приводиться до нормального вигляду множенням усіх членів на множник, що нормує:

, (2.7)

з нак якого вибирається протилежним

знаку вільного члена

загального рівняння.

(Якщо С=0, то можна

вибирати

будь-який знак).

Рисунок 2.1

У мова перпендикулярності прямих , на площині:

(2.8)

У мова паралельності прямих , на площині:

(2.9)

Відстань від точки до прямої

о бчислюється по формулі

(2.10)

Кут між двома прямими , на площині знаходиться по формулі

(2.11)

П олярна система координат на площині визначається точкою О (полюс), променем ОР, що виходить із неї (полярна вісь), масштабним відрізком і напрямком відліку кутів.

Полярними координатами

точки М, не співпадаючої

з полюсом, називають

відстань (полярний радіус) від

точки М до полюса О і величину

к

Рисунок 2.1

ута (полярний кут) між полярної

віссю ОР і променем ОМ (Рисунокунок 2.2).

Для полюса вважають ( не визначене). Полярний кут має нескінченну множину значень. Значення, що задовольняє

у мові , називають головним.

Зв'язок між прямокутною

декартовою й полярною

системами координат (Рисунок 2.3)

виражається формулами:

Рисунок 2.1

(2.12)

Еліпсом називають геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок (фокусів) тієї ж площини є постійна величина.

Для еліпса:

a- велика, b- мала півосі;

,те - координати фокусів;

- ексцентриситет ;

- рівняння директрис.

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, для кожної з яких модуль різниці відстаней до двох даних точок (фокусів) тієї ж площини є величина постійна.

Д ля гіперболи:

a- дійсна, b- уявна півосі;

,де - координати фокусів;

- ексцентриситет ;

- рівняння асимптот;

- рівняння директрис.

Параболою називається геометричне місце точок площини, які віддалені на рівну відстань від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси), що лежать у тій же площині.

Для параболи:

- координати фокуса; - рівняння директриси.

Формули перетворення координат кривої другого порядку при паралельному переносі координатних осей:

(2.13)

де точка - центр нової системи координат