5.2. Кручение

Кручением называется такой вид деформации стержня (вала), при котором в поперечных сечениях возникает только крутящий момент.

5.2.1. Определение крутящего момента

Для определения крутящего момента в каком-либо сечении используют метод сечений.

Рассмотрим пример, показанный на рис. 25а. Здесь к четырём шкивам, сидящим жёстко на валу, приложены внешние скручивающие вал моменты разной направленности. Для определения крутящего момента в сечении z рассмотрим равновесие, например, левой части (рис. 25б), для которой уравнение равновесия имеет вид:

, откуда .

П ри определении крутящих моментов придерживаются правила знаков: если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит крутящий момент М_к направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным.

В любом сечении вала действует крутящий момент, равный сумме внешних моментов, находящихся по одну сторону этого сечения. Делая поочерёдно аналогичные сечения вала на участках между шкивами (рис. 25а), находим значении . Распределение крутящего момента по длине вала изображается в виде эпюры, показанной на рис. 25в.

5.2.2. Перемещения при кручении

Опыт показывает, что при кручении круглых валов:

– плоские поперечные сечения до деформации остаются плоскими и после приложения нагрузок, сами сечения при этом не искажаются;

– расстояние между любыми двумя поперечными сечениями не меняется;

– все образующие поверхности вала (линии, параллельные его оси) поворачиваются на один и тот же угол.

Деформация вала при кручении происходит за счёт сдвига одного сечения относительно другого из-за касательных напряжений τ, действующих в сечении (рис. 26). Для выяснения закона изменения деформации по сечению вырежем из вала двумя поперечными сечениями элемент длиной dz, условно закрепив жёстко один из его торцов (сечение I−I). В результате действия крутящего момента сечение II−II повернётся относительно условно закреплённого сечения I−I на угол . Точка В переместится в положение В₁. Угол между новым положением образующей АВ₁ и первоначальным АВ называется относительным углом сдвига или относительным сдвигом.

И з рис. 26 видно, что

,

откуда находим

. (5.8)

Отношение представляет угол закручивания на единицу длины вала, обозначается θ и называется относительным углом закручивания. Здесь ρ – текущий радиус-вектор.

Подставляя значение γ (5.8) в формулу (5.4) закона Гука при сдвиге, получим

. (5.9)

Полученное выражение определяет закон распределения касательного напряжения по сечению. Поскольку в сечении , то напряжения изменяются пропорционально радиусу ρ. Из (5.9) следует, что на контуре сечения касательные напряжения принимают максимальные значения.

Крутящий момент является результирующим моментом внутренних сил (рис.27) относительно оси z:

. (5.10)

Подставляя (5.9) в (5.10), получим

.

Поскольку , то , или

, (5.11)

где – полярный момент инерции сечения.

Из (5.11) получаем формулу для определения относительного угла закручивания вала:

, (5.12)

тогда угол закручивания

. (5.13)

Если , и l различны на разных участках вала, то в общем случае полный угол закручивания вала можно определить как сумму углов закручивания вала отдельных его участков:

, (5.14)

где – угол закручивания i-го участка;

n – число участков.